Legendre'sche Gleichung - HP 49g+ Benutzeranleitung

x^n erhalten wir eine algebraische Hilfsgleichung: 'n*(n-1)+a*n+b = 0',
oder:
•
Wenn die Gleichung zwei verschiedene Nullstellen enthält, z. B. n
n , dann ist die allgemeine Lösung zu dieser Gleichung y(x) = K
2
n
⋅x
K .
2 2
• 2
Wenn b = (1-a) /4, dann hat die Gleichung eine doppelte Nullstelle n
n = n = (1-a)/2, und die Lösung lautet y(x) = (K
2

Legendre'sche Gleichung

Eine Gleichung der Form (1-x
n eine reelle Zahl ist, ist als Legendre'sche Gleichung bekannt. Jede Lösung für
diese Gleichung wird Legendre'sche Funktion genannt. Wenn n eine nicht
negative Ganzzahl ist, nennt man die Lösungen Legendre'sche Polynome. Das
Legendre'sche Polynom der Ordnung n ist gegeben durch
M
P ( x )
n
m =
2 ( n )!
n 2
2 ( n ) !
wobei M = n/2 oder (n-1)/2, je nachdem welche davon eine Ganzzahl ist.
Legendre'sche Polynome sind im Taschenrechner vorprogrammiert und können
mithilfe der Funktion LEGENDRE aufgerufen werden, falls die Ordnung des
Polynoms n gegeben ist. Die Funktion LEGENDRE kann über den
Befehlskatalog (‚N) oder über das Menü ARITHMETIC/POLYNOMIAL
aufgerufen werden (siehe Kapitel 5). Im RPN-Modus erhält man die ersten
sechs Legendre'schen Polynome wie folgt:
0 LEGENDRE, Ergebnis: 1,
1 LEGENDRE, Ergebnis: 'X',
2 LEGENDRE, Ergebnis: '(3*X^2-1)/2',
3 LEGENDRE, Ergebnis: '(5*X^3-3*X)/2',
2
n ( a ) 1 n b
2 2 2
)-2⋅x⋅ (dy/dx)+n⋅ (n+1) ⋅y = 0, wobei
)⋅(d y/dx
2 ( n 2
m
( ) 1
n
2 m ( ! n m
0
2 ( n 2 )!
n
x
n
2 1 ( ! n 1 ( )! n
0
.
1
⋅x
1
⋅ln x)x n
+ K .
1 2
m )!
n − 2 m
x
)! ( n 2 m )!
n − 2
x ... ..
,
2 )!
d.h. P (x) = 1.0.
0
d.h. P (x) = x.
1
d.h. P
(x) = (3x
2
3
d.h. P (x) =(5x
3
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und
n
+
1
=
1
2
-1)/2.
-3x)/2.