Die Cauchy Oder Euler Gleichung; Die Legendre Gleichung - Hp 49G+ Benutzeranleitung

Die Cauchy oder Euler Gleichung

Eine Gleichung der Form x
reale Konstanten sind, ist bekannt als die Cauchy oder Euler Gleichung. Eine
Lösung für die Cauchy Gleichung können Sie finden wenn Sie annehmen daß
n
y(x) = x .
Schreiben Sie die Gleichung so: 'x^2*d1d1y(x)+a*x*d1y(x)+b*y(x)=0' `
Dann schreiben und ersetzen Sie die forgeschlagene Lösung: 'y(x) = x^n' `
@SUBST
Das Resultat ist: 'x^2*(n*(x^(n-1-1)*(n-1)))+a*x*(n*x^(n-1))+b*x^n =0,
welches vereinfacht wird zu 'n*(n-1)*x^n+a*n*x^n+b*x^n = 0'. Das
Teilen durch x^n, ergibt eine zusätzliche algebraische Gleichung:
•
Wenn die Gleichung zwei unterschiedliche Wurzeln hat, sagen wir n
und n , dann ist die allgemeine Lösung dieser Gleichung y(x) = K
2
n
⋅x
K .
2 2
• 2
Wenn b = (1-a) /4, dann hat die Gleichung eine doppelte Wurzel n
n = n = (1-a)/2, und die Lösung zeigt sich y(x) = (K
2

Die Legendre Gleichung

Eine Gleichung der Form (1-x
eine richtige Nummer ist, ist bekannt als die Legendre Differentialgleichung.
Jede mögliche Lösung für diese Gleichung ist bekannt als Legendre's Funktion.
Wenn n eine nicht negative Ganzzahl ist, werden die Lösungen Legendre's
Polyonomen genannt. Legendre's Polynom von Größe n wird gegeben bei
M
P ( x )
n
m =
2 ⋅(d 2 2
y/dx ) + a⋅x⋅ (dy/dx) + b⋅y = 0, wo a und b
'n*(n-1)+a*n+b = 0', oder
2
n ( a ) 1 n b
2 2 2 )-2⋅x⋅ (dy/dx)+n⋅ (n+1) ⋅y = 0, wo n
)⋅(d y/dx
2 ( n 2
m
( ) 1
n
2 m ( ! n m
0
0
.
⋅x
1
⋅ln x)x n
+ K zu sein.
1 2
m )!
n − 2 m
x
)! ( n 2 m )!
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1
n
+
1
=
1