HP 49g+ Benutzeranleitung Seite 439

2: [[1 2 –8][2 1 0][-8 0 –1]]
1: ['X' 'Y' 'Z']
Diagonale Darstellung einer quadratischen Form
Für eine symmetrische quadratische Matrix A kann die Matrix A
„diagonalisiert" werden, indem eine Orthogonalmatrix P ermittelt wird, für
die gilt: P T ⋅A⋅P = D, wobei D eine Diagonalmatrix ist. Wenn Q = x⋅A⋅x
auf A basierende quadratische Form ist, kann die quadratische Form Q so
dargestellt werden, dass sie mit Q = x⋅A⋅x
T
y⋅D⋅y nur quadratische Ausdrücke einer Variablen y enthält, sodass x = P⋅y.
Funktion SYLVESTER
Die Funktion SYLVESTER benötigt eine symmetrische quadratische Matrix A
als Argument und gibt einen Vektor zurück, der die Diagonalwerte einer
Diagonalmatrix D enthält, sowie eine Matrix P, sodass P
Beispielsweise ergibt
[[2,1,-1],[1,4,2],[-1,2,-1]] SYLVESTER
die Werte
2: [ 1/2 2/7 -23/7]
1: [[2 1 –1][0 7/2 5/2][0 0 1]]
Funktion GAUSS
Die Funktion GAUSS gibt die diagonale Darstellung einer quadratischen Form
Q = x⋅A⋅x T
zurück und benötigt als Argumente die quadratische Form auf
Ebene 2 des Stacks und den Vektor der Variablen auf Ebene 1 des Stacks.
Der Aufruf dieser Funktion führt zu folgenden Ergebnissen:
• Ein Feld von Koeffizienten, die die Diagonalwerte von D darstellen
(Ebene 4 des Stacks)
• Eine Matrix P, sodass A = P
•
Die diagonalisierte quadratische Form (Ebene 2 des Stacks)
•
Die Liste der Variablen (Ebene 1 des Stacks)
Beispielsweise erzeugt
'X^2+Y^2-Z^2+4*X*Y-16*X*Z' `
['X','Y','Z'] ` GAUSS
folgende Werte:
4: [1 –0,333 20,333]
T T
= (P⋅y)⋅A⋅(P⋅y)
T ⋅A⋅P = D.
T ⋅D⋅P (Ebene 3 des Stacks)
T
eine
= y⋅(P T ⋅A⋅P)⋅y T
=
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