Polynome; Modulare Arithmetik Mit Polynomen - HP 48gII Benutzerhandbuch

Polynome

Polynome sind algebraische Ausdrücke, die aus einem oder mehreren
Gliedern, welche abfallende Potenzen einer gegebenen Variable enthalten,
bestehen. So ist z. B. der Ausdruck 'X^3+2*X^2-3*X+2' ein Polynom dritten
Grades der Variablen X, während 'SIN(X)^2-2' ein Polynome zweiten Grades
in SIN(X) darstellt. Eine Aufzählung von Funktionen zu Polynomen im Menü
ARITHMETIC wurde vorhin dargestellt. Als Nächstes finden Sie einige
allgemeine Definitionen zu Polynomen. In diesen Definitionen stellen A(X), B(X),
C(X), P(X), Q(X), U(X), V(X) usw. Polynome dar.
•
Polynombruch: ein Bruch, dessen Zähler und Nenner Polynome sind,
beispielsweise C(X) = A(X)/B(X)
•
Wurzeln oder Nullen eines Polynoms: Werte von X, für die P(X) = 0
•
Pole eines Bruches: Wurzeln des Nenners
•
Mehrwertigkeit der Wurzeln oder Pole: die Anzahl des Auftretens einer
Wurzel, z. B. P(X) = (X+1)
Mehrwertigkeiten {2,1}
•
Kreisteilungs-Polynom (P
Wurzeln die primitive n-te Wurzel der Einheit ist, z. B. P
2
= X +1
•
Bézouts Polynomgleichung: A(X) U(X) + B(X)V(X) = C(X)
Nachstehend finden Sie spezifische Anwendungsbeispiele von Polynomen.

Modulare Arithmetik mit Polynomen

Auf die gleiche Art, wie wir einen endlichen arithmetischen Ring für Zahlen in
einem vorangegangenen Abschnitt definiert haben, können wir auch einen
endlichen arithmetischen Ring für Polynome mit einem gegebenen Polynom als
Modul definieren. So können wir z. B. ein bestimmtes Polynom P(X) als P(X) =
2
X (mod X ) definieren oder ein anderes Polynom als Q(X) = X + 1 (mod X-2).
Ein Polynom P(X) ist Teil eines arithmetischen Ringes von Polynomen des
Moduls M(X), wenn es ein drittes Polynom Q(X) gibt, und zwar so, dass
(P(X) – Q(X)) ein Vielfaches von M(X) darstellt. Dann würden wir schreiben:
P(X) ≡ Q(X) (mod M(X)). Letzterer Ausdruck wird als "P(X) ist kongruent mit Q(X)
modulo M(X)" interpretiert.
2
(X-3) hat die Wurzeln {-1, 3} mit den
(X)): ein Polynom EULER(n)- Grades, dessen
n
(X) = X+1, P (X)
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