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RPN) vorgestellt.
Modulare Arithmetik
Nehmen wir ein Zahlensystem bestehend aus Integer-Zahlen, welche
periodisch auf sich selbst zurückgehen und neu starten, wie die Stunden einer
Uhr. Ein solches Zählsystem wird als Ring bezeichnet. Da die in einem Ring
verwendete Anzahl von Integer-Werten begrenzt ist, wird die Arithmetik in
diesem Ring als endliche Arithmetik
bezeichnet. Nehmen wir an, unsere
endliche Zahl an Integer-Werten besteht aus den Zahlen 0, 1, 2, 3, ..., n-1, n.
Die Arithmetik in diesem Zählsystem können wir auch als modulare Arithmetik
des Moduls n bezeichnen. Im Falle der Stunden einer Uhr, wäre das Modul
12. (Wenn wir jedoch in der modularen Arithmetik mit den Stunden einer Uhr
arbeiten, müssten wir die Integer-Zahlen 0, 1, 2, 3, ..., 10, 11, und nicht 1, 2,
3,...,11, 12) verwenden.
Operationen in modularer Arithmetik
Addition in modularer Arithmetik mit dem Modul n, welches eine positive
Integer-Zahl darstellt, wenn j und k zwei positive Integer-Zahlen, beide kleiner
als n sind und j+k≥ n gilt, wird j+k als j+k-n definiert. Im Beispiel mit unserer
Uhr wäre das, für n = 12, 6+9 "=" 3. Um diese "Gleichwertigkeit" von
unendlichen arithmetischen Gleichheiten zu unterscheiden, wird das Symbol
≡ anstelle des Gleichzeichens gesetzt und das Verhältnis zwischen diesen
Zahlen als Kongruenzund nicht als Gleichwertigkeit bezeichnet. Somit würden
wir für das obige Beispiel 6+9 ≡ 3 (mod 12) schreiben und diesen Ausdruck
wie folgt lesen "sechs plus neun ist kongruent zu drei, Modul 12". Stellen die
Zahlen die Stunden seit Mitternacht dar, kann z. B. die Kongruenz 6+9 ≡ 3
(mod 12) als "sechs Stunden nach der neunten Stunde nach Mitternacht, wird
drei Stunden nach Mittag sein" interpretieren. Andere Summen, welche in
Modul 12-Arithmetik definiert werden können sind beispielsweise 2+5 ≡ 7
(mod 12); 2+10 ≡ 0 (mod 12); 7+5 ≡ 0 (mod 12) usw.
Die Regeln für die Subtraktion lauten wie folgt: wenn j – k < 0, dann wird j-k
als j-k+n definiert. Somit liest man 8-10 ≡ 2 (mod 12) als "acht minus zehn ist
kongruent zu zwei, Modul zwölf". Ein weiteres Beispiel einer Subtraktion in
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