Orthogonalmatrizen Und Singulärwertzerlegung - HP 50g Bedienungsanleitung

Orthogonalmatrizen und Singulärwertzerlegung
Eine quadratische Matrix ist orthogonal, wenn ihre Spalten Einheitsvektoren
darstellen, die zueinander orthogonal sind. Die Matrix U = [v
den Spaltenvektoren v
die Kronecker-Deltafunktion darstellt, ist daher eine Orthogonalmatrix. Aus
diesen Bedingungen folgt außerdem, dass U⋅ U
Die Singulärwertzerlegung (SVD) einer rechteckigen Matrix A
durch Bestimmung der Matrizen U, S und V, sodass A
, wobei U und V Orthogonalmatrizen sind und S eine Diagonalmatrix ist.
n×n
Die diagonalen Elemente von S werden als Singulärwerte von A bezeichnet
und sind in der Regel so angeordnet, dass für i = 1, 2, ..., n-1 gilt, dass s
s . Die Spalten [u
i+1
Singulärvektoren.
Funktion SVD
Im RPN-Modus ist der Eingabewert für die Funktion SVD (Singular Value
Decomposition, Singulärwertzerlegung) eine Matrix A
den Ebenen 3, 2 bzw. 1 des Stacks die Matrizen U
Vektor s zurück. Die Dimension des Vektors s ist gleich dem Minimum der
beiden Werte n bzw. m. Die Matrizen U und V entsprechen der bereits
erläuterten Definition für die Singulärwertzerlegung, während der Vektor s die
Hauptdiagonale der bereits eingeführten Matrix S darstellt.
Beispielsweise ergibt die folgende Eingabe im RPN-Modus: [[5,4,-
1],[2,-3,5],[7,2,8]] SVD
3: [[-0,27 0,81 –0,53][-0,37 –0,59 –0,72][-0,89 3,09E-3 0,46]]
2: [[ -0,68 –0,14 –0,72][ 0,42 0,73 –0,54][-0,60 0,67 0,44]]
1: [ 12,15 6,88 1,42]
, i = 1, 2, ..., n und der Eigenschaft v
i
] von U und [v
j j
T
= I.
] von V sind die entsprechenden
v
1 2
= δ
v
i •
j
erfolgt daher
m×n
= U
m×n m×m
. Die Funktion gibt auf
n×m
und V sowie einen
n×n m×m
... v ] mit
n
, wobei δ
ij ij
T
⋅S ⋅V
m×n
≥
i
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