Vertrauensbereiche Für Den Populationsmittelwert Bei Unbekannter Populationsvarianz; Vertrauensbereich Für Eine Quote - HP 49g+ Benutzeranleitung

Im Allgemeinen ist der Wert z in der Standardnormalverteilung als der Wert
k
von z definiert, dessen Überschreitungswahrscheinlichkeit k ist, d. h. Pr[Z>z ]
k
= k oder Pr[Z<z ] = 1 – k. Die Normalverteilung wurde in Kapitel 17 erläutert.
k
Vertrauensbereiche für den Populationsmittelwert bei
unbekannter Populationsvarianz
X und S sei der Mittelwert bzw. die Standardabweichung einer
Zufallsstichprobe der Größe n, die einer unendlichen Population mit
Normalverteilung und der unbekannten Standardabweichung σ entnommen
wurde. Der zentrale zweiseitige Vertrauensbereich 100(1-α)% [d. h. 99 %,
95 %, 90 %, usw.] für den Populationsmittelwert µ ist (X− t ⋅S /√n ,
α
n-1, /2
X+ t ⋅S/√n ), wobei t
eine Studentsche t-Verteilung mit dem
α α
n-1, /2 n-1, /2
Freiheitsgrad ν = n-1 und der Überschreitungswahrscheinlichkeit α/2 darstellt.
Die obere und untere einseitige Vertrauensgrenze 100⋅ (1-α)% für den
Populationsmittelwert µ lautet
⋅S/√n bzw. X− t ⋅S /√n.
X + t
α α
n-1, /2 n-1, /2
Kleine und große Stichproben
Für die Studentsche t-Verteilung gilt, dass sie für n>30 nicht von der
Standardnormalverteilung zu unterscheiden ist. Wenn daher bei Stichproben
mit mehr als 30 Elementen die Populationsvarianz nicht bekannt ist, können
Sie denselben Vertrauensbereich wie bei bekannter Populationsvarianz
verwenden, müssen jedoch σ durch S ersetzen. Stichproben mit n>30 werden
üblicherweise als große Stichproben bezeichnet, andernfalls als kleine
Stichproben.
Vertrauensbereich für eine Quote
Eine diskrete Zufallsvariable X folgt einer Bernoulli-Verteilung, wenn X nur
zwei Werte annehmen kann: X = 0 (Fehlschlag) und X = 1 (Erfolg). Wenn X ~
Bernoulli(p) und p die Erfolgswahrscheinlichkeit ist, ist der Mittelwert bzw.
Erwartungswert von X gleich E[X] = p, und die Varianz lautet Var[X] = p(1-p).
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