Die Runge-Kutta-Methode - Texas Instruments Ti-89 Benutzerhandbuch

Die Runge-Kutta-Methode

Bogacki-Shampine 3(2)-
Formel
Für Runge-Kutta-Integrationen gewöhnlicher Differential-
gleichungen verwendet der
Shampine 3(2)-Formel, wie sie im Magazin Applied Math
Letters , 2 (1989), Seiten 1–9 veröffentlicht wurde.
Die Bogacki-Shampine 3(2)-Formel liefert ein Ergebnis mit Genauigkeit
dritter Ordnung und eine auf einer eingebetteten Formel zweiter
Ordnung basierenden Fehlerschätzung. Für eine Aufgabe der Form:
y' = ƒ(x, y)
und eine gegebene Schrittweite h kann die Bogacki-Shampine-Formel
folgendermaßen geschrieben werden:
= ƒ(x
)
F , y
1 n n
1
(
= ƒ
F x + h 2 , y + h
2 n n
3
(
= ƒ
F x + h 4 , y + h
3 n n
2 1
(
y = y + h 9 F + 3 F
n+1 n 1
x = x + h
n+1 n
= ƒ (x
, y )
F
4 n+1 n+1
5 1
(
ì
errest = h 72 F 12 F
1
Die Fehlerschätzung errest wird zur automatischen Schrittweiten-
kontrolle verwendet. Eine gründliche Diskussion dieses Vorgangs
finden Sie in Numerical Solution of Ordinary Differential Equations
von L. F. Shampine (New York: Chapman & Hall, 1994).
Die -Software nimmt die Schrittweitenanpassung nicht
TI-89 / TI-92 Plus
so vor, dass bestimmte Ausgabepunkte erreicht werden. Es werden
hingegen die größtmöglichen Schritte vorgenommen (abhängig von
der Fehlertoleranz
diftol
Hierzu wird das mit der Steigung F
durch (x
der Steiung F
4
polynom verwendet. Die Interpolierende ist effektiv und liefert über
die gesamte Schrittweite Resultate, die ebenso genau sind, wie die
Resultate an den Schrittenden.
TI-89 / TI-92 Plus
1
)
2 F
1
3
)
4 F
2
4
)
+ 9 F
2 3
1 1
)
ì
9 F + 8 F
2 3 4
) und Ergebnisse für x
n
durch den Punkt (x
1
) gehende kubische Interpolations-
, y
n+1 n+1
Anhang B: Referenz
die Bogacki-
 x  x
geliefert.
n+1
, y ) und mit
n n
573