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Fourier Optik Kit
4.1.4.
Fraunhofer-Näherung /-Beugung
Gehen wir einen Schritt weiter und nehmen an, dass der Durchmesser der beugenden
Öffnung
sehr klein gegen
gilt, können wir die Näherung in Gleichung (6) noch weiter vereinfachen, indem wir die
Ausdrücke mit
Damit vereinfacht sich insbesondere der Ausdruck im Integral und wir erhalten
,
,
als Fraunhofer-genähertes Beugungsintegral.
4.1.5.
Verbindung zur Fourier-Transformation
Es gibt einen bemerkenswerten Zusammenhang zwischen dem Fraunhofer-Beugungsbild
und der Fourier-Transformation der Blende. Dies ist die Grundlage des hier vorgestellten
Versuchspakets.
Nehmen wir nun an, wir betrachten wieder wie oben eine Fläche
lichtundurchlässigen Ebene. Die Feldstärkeverteilung in der Öffnung sei als
bezeichnet. Mit der Fensterfunktion
den Wert 0 für Werte außerhalb von
0 als
,
Folgen wir Gleichung (10), dann ergibt sich als Fraunhofer-Beugungsbild in der Ebene
,
,
Vergleicht man die Ausdrücke im Integral von (11) und (1), dann fällt auf, dass in (11) im
Wesentlichen die Fourier-Transformation der Feldstärkeverteilung steht.
Dies stellt eine der wichtigsten Erkenntnisse der Beugungstheorie dar: das Fraunhofer-
Beugungsbild ergibt sich (abgesehen von Vorfaktoren) unmittelbar aus der Fourier-
Transformation der Öffnung.
MTN012690-D03
ist. Sofern
1
≫
/
und
1
exp
⋅
, , 0 ⋅ exp
,
⋅
, , 0 schreiben.
exp
⋅
, , 0 ⋅
Kapitel 4: Theoretischer Hintergrund
/
vernachlässigen. Somit ergibt sich
2
'
,
, die den Wert 1 für Werte innerhalb von
hat, kann man das Feld in der gesamten Ebene
,
⋅ exp
(8)
(9)
(10)
in einer sonst
,
und
(11)
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