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6-7 Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Es gibt eine Vielzahl verschiedenartigster Wahrscheinlichkeitsverteilungen, unter denen die
wohl bekannteste die Normalverteilung ist, die für statistische und wahrscheinlichkeits-
theoretische Berechnungen verwendet wird. Die Normalverteilung ist eine stetige und symmetri-
sche Verteilung um den Mittelwertparameter
in einer normalverteilten Grundgesamtheit werden Daten in unmittelbarer Umgebung von
häufi ger und weiter links oder rechts von
vorkommen. Dabei spielt als zweiter Parameter die Standardabweichung
Die Poission-Verteilung, die geometrische Verteilung und andere diskrete Wahrscheinlich-
keitsverteilungen fi nden ebenfalls häufi g Anwendung bei stochastischen Betrachtungen. Welche
Wahrscheinlichkeitsverteilung als wahrscheinlichkeitstheoretisches Datenmodell zur Anwendung
kommen wird, ist oftmals von der praktischen Fragestellung abhängig.
Ist das wahrscheinlichkeitstheoretische Datenmodell für
der Grundgesamtheit
P(
scheinlichkeiten
≥
X
P(
)
=
a
usw. berechnen.
So kann zum Beispiel die Verteilungsfunktion verwendet werden, um den Qualitätsanteil bei
der (Massen-)Produktion eines bestimmten Erzeugnisses zu berechnen, indem ein Qualitäts-
X
merkmal
betrachtet wird. Sobald ein
ist, können Sie die Normalverteilungswahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass die
betrachtete Produktionskennziffer
den Prozentsatz dafür, dass ein vorgegebenes Kriterium erfüllt wird.
Andererseits kann z.B. eine unbekannte Ausschußrate
q
q
=
=10%) in einer dichotomen Grundgesamtheit
o
normalverteilten Testgröße
Irrtumswahrscheinlichkeit
werden muß.
Weiterhin spielt die Normalverteilung in Form ihrer Umkehrfunktion (Quantile der N(0,1)-
Verteilung) eine wichtige Rolle zur Berechnung der Intervallgrenzen von Vertrauensintervallen
z.B. für den Qualitätsanteil (Erfolgsquote
Mithilfe der Normalverteilungsdichte(-funktion) kann für einen vorgegebenen
Wahrscheinlichkeitsdichte der Normalverteilung an der Stelle
Mithilfe der Verteilungsfunktion einer Normalverteilung können unkompliziert Intervallwahr-
scheinlichkeiten der Form
werden. Intervallwahrscheinlichkeiten können als schraffi erte Fläche unter der (Gaußschen)
Glockenkurve grafi sch veranschaulicht werden.
Mithilfe der Umkehrfunktion der (Normal-)Verteilungsfunktion kann schließlich für eine
vorgegebene Intervallwahrscheinlichkeit
x
γ (Quantil der Ordnung
Mithilfe der Studentschen
die Wahrscheinlichkeitsdichte der
Mithilfe der Verteilungsfunktion einer Student-Verteilung (
Intervallwahrscheinlichkeiten der Form
berechnet werden. Als Parameter der
6-7-1
Wahrscheinlichkeitsverteilungen
X
oder der Zufallsgröße
≤
≤
X
X
)
P(
[a, b]
=
a
x
-Intervall (Wertebereich für
X
genau in diesem
Z
untersucht werden, um zu entscheiden, ob (mit einer gewissen
α
) die Null-Hypothese zugunsten einer Alternativhypothese abgelehnt
p
X
P(
)
[a, b]
=
γ
=
γ
) berechnet werden.
t
-Verteilungsdichte(-funktion) kann für einen vorgegebenen
t
-Verteilung an der Stelle
P(
t
-Verteilung sind deren Freiheitsgrade zu beachten.
μ
, d.h. bei einer statistischen Datenerhebung
μ
liegende Zahlenwerte seltener in der Stichprobe
X
(die Wahrscheinlichkeitsverteilung
X
) bekannt, können Sie z.B. Intervallwahr-
∞
X
)
P(
)
P(
b
,
(-
, b]
=
x
-Intervall liegen wird. D.h., Sie berechnen
q
als Null-Hypothese (zum Beispiel
Y
angesetzt und dann mithilfe einer
) innerhalb einer dichotomen Grundgesamtheit
x
berechnet werden.
≤
≤
X
P(
)
a
b
für eine Normalverteilung berechnet
∞
X
x
γ ]
P(
)
P(
(-
,
=
x
berechnet werden.
t
-Verteilung) können unkompliziert
≤
X
X
)
P(
[a, b]
=
a
20070201
σ
eine wichtige Rolle.
≤
X
X
)
P(
b
oder
[a,
X
) als Kriterium vorgegeben
x
-Wert die
≤
X
x
γ
)
die Intervallgrenze
x
-Wert
≤
t
)
b
für eine
-Verteilung
μ
∞
)
)
Y
.
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