D) Ebenen: Parametergleichung, Punkte Auf Der Ebene, Punktprobe; E) Lagebeziehung Zwischen Ebene (Parameterform) Und Gerade; F) Lagebeziehung Zweier Ebenen (In Parameterform) - Texas Instruments TI-83 Plus Bedienungsanleitung

Wir erkennen: der Lösungsvorschlag r = 0 (erste Zeile) und s = 0 (zweite Zeile) löst
das LGS nicht: Also sind die Geraden windschief.
(Wenn der Lösungsvorschlag das LGS löst, erhalten wir über die Werte von s bzw. t
auch den Schnittpunkt: z. B. s = 2 und t = -1: Schnittpunkt: [A] + 2[H] )

d) Ebenen: Parametergleichung, Punkte auf der Ebene, Punktprobe

Gegeben: Ebene E durch die Punkte A(2|0|-3), B(-2|1|-2) und C(0|1|4). Zusätzlich ist ein
weiterer Punkt D(2|-1|0) gegeben. Gesucht: Parametergleichung von E, weitere Punkte auf E
und die Überprüfung, ob D auf E liegt (Punktprobe).
Bem.: Die Parameterform der Ebene E:
Weitere Punkte auf E erhält man, indem man für r und s Werte einsetzt. Punktprobe:
Prüfe, ob das folgende LGS eine Lösung hat:
=
OD
Vorgehen beim TI 83 Plus: Über Matrizen und Gaußverfahren
Zuerst Eingabe der Punkte A, B, C und D als 3x1-Matrizen.
[A]
[B]–[A] [H]
[C]–[A] [I]
[A] + 2[H] –3 [I]
[D]–[A] [J]
Zur Punktprobe lösen wir das LGS s[H] + t[I] = [J]:
Zuerst über „Augment" die Matrix aufstellen,
dann über „rref" diagonalisieren.
(Hier: Der Lösungsvorschlag s = 0 (erste Zeile) und t = 0 (zweite Zeile) löst das LGS
nicht, also liegt D nicht auf E).

e) Lagebeziehung zwischen Ebene (Parameterform) und Gerade

Ziel: Gegeben ist eine Gerade g durch die Punkte A(2|0|-3) und B(-2|1|-2) und die Ebene E durch die Punkte C(0|1|4),
D(2|-1|0) und E(4|1|3). Gesucht: Welche Lage haben die Ebene und Gerade zueinander?
Bem.: Für die Lagebeziehung zwischen g und E gilt: Setze die Gerade mit der Ebene gleich:
+ =
OA r AB OC
•
Gibt es keine Lösung:
•
Gibt es eine Lösung:
•
Gibt es unendlich viele Lösungen:
Vorgehen beim TI 83 Plus: Über Matrizen und Gaußverfahren
Eingabe der Punkte als 3x1-Matrizen [A] , ..., [E]
[B]-[A] [G]
[D]-[C] [H]
[E]-[C] [I]
[C]-[A] [J]
Nun ist das LGS r[G] –s[H] – t[I] = [J] zu lösen:
Über „Augment" wird die Lösungsmatrix eingegeben,
über „rref" wird diagonalisiert:
Hier gibt es die Lösung: r = -2,7...; s = 1,8...; t = 2,2 ...
Damit gibt es einen Schnittpunkt (auf g mit dem Parameter –2,7...).
Hinweis: Wenn g und E parallel sind (keine Lösung), hätte es einen Widerspruch in der 3. Zeile
gegeben.
Wenn g in E liegt (unendlich viele Lösungen), wären lauter Nullen in der 3. Zeile
gestanden.

f) Lagebeziehung zweier Ebenen (in Parameterform)

Gegeben ist eine Ebene E durch die Punkte A(2|0|-3), B(-2|1|-2) und C(0|1|4), und die Ebene F
durch die Punkte D(2|-1|0), E(4|1|3) und F(-2|3|0). Gesucht: Welche Lage haben die Ebenen
zueinander?
Bem.: Für die Lagebeziehung zwischen g und E gilt: Setze die Ebenen gleich:
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=
x OA
+ + ⇔
OA r AB s AC
Stützvektor der Ebene
Erster Richtungsvektor der Ebene
Zweiter Richtungsvektor der Ebene
Punkt auf E mit s = 2 und t = -3
Verbindungsvektor von D zur Ebene
+ + ⇔
s CD t CE r
Richtungsvektor von g
Erster Richtungsvektor von E
Zweiter Richtungsvektor von E
Verbindungsvektor der Stützvektoren
/ Last Update 04.12.04
Einführung in den GTR TI-83 Plus
+ +
r AB s AC
.
+ =
r AB s AC AD
− − =
AB s CD t CE AC
g und E sind parallel
g schneidet E in einem Schnittpunkt
g liegt in E
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