Affine Geometrie Mit Dem Gtr Ti-83 Plus; A) Lineare Abhängigkeit; B) Geraden: Parametergleichung, Punkte Auf Der Geraden, Punktprobe; C) Lagebeziehung Von Geraden - Texas Instruments TI-83 Plus Bedienungsanleitung

5. Affine Geometrie mit dem GTR TI-83 Plus

a) Lineare Abhängigkeit
a
Sind die drei Vektoren
Bemerkung: Die drei Vektoren sind linear abhängig, wenn das zugehörige LGS
+ + =
a u b v w c o
unendlich viele Lösungen besitzt.
Vorgehen beim TI 83 Plus: Über Matrizen und das Gaußverfahren
Eingabe der 3x3-Matrix für das LGS
dann Diagonalisieren über „rref":
In der dritten Zeile steht dann: 0u + 0v +0w = 0, also 0 = 0.
Das LGS hat somit unendlich viele Lösungen, die drei Vektoren sind linear
abhängig (sonst wären sie linear unabhängig gewesen).
Hinweis: Bei zwei Vektoren erkennt man sofort, ob diese linear abhängig sind:
Sind diese Vektoren Vielfache voneinander, dann sind sie linear abhängig. Man nennt sie dann auch kollinear.

b) Geraden: Parametergleichung, Punkte auf der Geraden, Punktprobe

Gegeben ist eine Gerade g durch die Punkte A(2|0|-3) und B(-2|1|-2). Zusätzlich ist ein weiterer Punkt C(0|1|4) gegeben.
Gesucht: Parametergleichung von g, weitere Punkte auf g und die Überprüfung, ob C auf g liegt (Punktprobe).
Bem.: Die Parameterform lautet:
Punkte auf g findet man, indem man für r verschiedene Werte einsetzt, z. B. r = 2.
Punktprobe: C liegt auf g, wenn
Vorgehen beim TI 83 Plus: Über Matrizen
Zuerst Eingabe der Punkte A, B und C als 3x1-Matrizen.
[A]
[B] – [A]
[A] + 2([B] –[A])
[C] – [A]

c) Lagebeziehung von Geraden

Gegeben ist eine Gerade g durch die Punkte A(2|0|-3) und B(-2|1|-2) und die Gerade h durch die Punkte C(0|1|4) und
D(2|-1|0). Gesucht: Welche Lage haben die Geraden zueinander?
Bem.: für die Lagebeziehung zweier Geraden gilt:
•
Richtungsvektoren sind kollinear:
o
o
•
Richtungsvektoren nicht kollinear: Setze die Geraden gleich und löse das LGS:
+
OA r
o
o
Vorgehen beim TI 83 Plus: Über Matrizen und Gaußverfahren
Eingabe der Punkte als 3x1-Matrizen [A], [B], [C] und [D]
[B]-[A] [H]
[D]-[C] [I]
[C]-[A] [J]
In diesem Fall sind die Richtungsvektoren nicht kollinear: Deshalb sind die
Geraden windschief oder schneiden sich.
Nun wird das LGS r[H] – s[I] = [J] gelöst.
Mit dem Befehl „Augment" (aus [
wird die Matrix des LGS aus den Vektoren erstellt (siehe rechts).
(Alternative: 3x3-Matrix von Hand eingeben.)
Mit dem Befehl „rref" (aus [
wird das LGS diagonalisiert (siehe rechts).
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   
1 4
   
= = =
   
2 ; b 0 ; c
   
−
   
3 1
= +
g x OA
:
=
OC OA
Stützvektor der Geraden
Richtungsvektor der Geraden
Punkt auf g mit Parameter r = 2
ist dieser kollinear zu [B] – [A],
dann liegt C auf g (hier nicht!)
Verbindungsvektor und ein Richtungsvektor der Geraden kollinear: g und h identisch
Verbindungs- und Richtungsvektor nicht kollinear: g parallel zu h
= + ⇔
AB OC s CD
Eine Lösung: g schneidet h
Keine Lösung: g und h windschief
Richtungsvektor von g
Richtungsvektor von h
Verbindungsvektor der Stützvektoren
II
MATRX] [MATH] )
II
MATRX] [MATH] )
/ Last Update 04.12.04
Einführung in den GTR TI-83 Plus
 
2
 
−
 
4
linear abhängig sind?
 
 
7
r AB
(mit Stützvektor, Parameter und Richtungsvektor).
+ ⇔ =
r AB AC r AB
− =
r AB s CD AC
(kollinear)
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