G) Aufstellen Der Koordinatengleichung Und Normalenform Einer Ebene; H) Lagebeziehung Zwischen Ebene (Koordinatenform) Und Gerade; I) Lagebeziehung Zweier Ebenen In Koordinatenform - Texas Instruments Ti-83 Plus Bedienungsanleitung

+ + =
OA s AB t AC
1 1
•
Gibt es keine Lösung:
•
Sind s und t
1
•
Ist von s und t
1
Vorgehen beim TI 83 Plus: Über Matrizen und Gaußverfahren
Eingabe der Punkte als 3x1-Matrizen [A] , ..., [F]
[B]-[A] [G]
[C]-[A] [H]
[E]-[D] [I]
[F]-[D] [J]
[D]-[A] [A]
Nun ist das LGS s1[G] + t1[H] – s2[I] – t2[J] = [A] zu lösen:
Über „Augment" wird die Lösungsmatrix eingegeben und über „rref" wird diagonalisiert:
Wenn die Ausgabe als Bruch erscheint und wir in der Matrix scrollen,
erkennen wir in der 3- Zeile:
Hier ist z. B. t beliebig. Damit schneiden sich die Ebenen in einer
2
Schnittgeraden.
Dazu löst man nach s auf und setzt s
2
Als Ergebnis erhält man die Schnittgerade der beiden Ebenen.
Hinweis: Wenn die Ebenen identisch sind, stehen in der 3.Zeile lauter Nullen (s
Wenn die Ebenen parallel sind, steht in der 3.Zeile eine falsche Aussage, z. B. 0 s

g) Aufstellen der Koordinatengleichung und Normalenform einer Ebene

Ziel: Gesucht ist die Koordinatengleichung und die Normalenform der Ebene E durch P(1|2|3), Q(0|3|-1), R(-2|0|1).
Hinweis: Eine Koordinatengleichung sieht allgemein so aus: a x + b y + c z + d = 0.
Sie muss Koeffizienten a, b, c und d haben, damit die drei Punkte auf diese Gleichung erfüllen:
I:
II:
III:
Vorgehen beim TI 83 Plus: Über Matrizen (wie oben):
Zuerst Eingabe der 3x4 Matrix A
Dann wird die Matrix wieder über RREF reduziert:
Wir erhalten somit die reduzierten Gleichungen:
a - 0,4 d = 0
b + 0,4 d = 0
c + 0,2 d = 0
Wir wählen d = 5 und erhalten: a = 2, b = -2 und c = -1:
Die Koordinatengleichung lautet somit: 2x – 2y – z + 5 = 0.
Die Normalenform benötigt nur einen Stützvektor (hier vom Punkt P) und den Normalenvektor, den wir von
der Koordinatenform einfach ablesen können.

h) Lagebeziehung zwischen Ebene (Koordinatenform) und Gerade

Gegeben ist eine Gerade g durch die Punkte A(2|0|-3) und B(-2|1|-2) und die Ebene E: x – 2y + 3z = 4. Gesucht: Welche
Lage haben Ebene und Gerade zueinander?
Bem.: Dazu wird die Geradengleichung in die Ebenengleichung eingesetzt. Man erhält eine Gleichung für t, den
Parameter der Gerade.
Empfehlung: Da diese Rechnung einfach ist, geht es ohne GTR schneller.
Vorgehen beim TI 83 Plus: Über Listen (siehe weiter unten bei)

i) Lagebeziehung zweier Ebenen in Koordinatenform

Gegeben: Ebenen E: x – 2y + 3z – 4 = 0 und F: -2x + 3y – z +3 = 0. Gesucht: Lagebeziehung der beiden Ebenen.
Bem.: Um die Lagebeziehung zweier Ebenen in Koordinatenform zu untersuchen, prüft man zuerst,
ob die Gleichungen Vielfache voneinander sind: dann sind E und F identisch
oder ob die Normalenvektoren Vielfache voneinander sind: dann sind E und F parallel.
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+ + ⇔
OD s DE t DF
2 2
(bzw. s und t ) beliebig: Ebenen sind identisch
1 2 2
(bzw. s und t ) nur eine beliebig:
1 2 2
Ebenen schneiden sich in einer Schnittgeraden
Erster Richtungsvektor von E
Zweiter Richtungsvektor von E
Erster Richtungsvektor von F
Zweiter Richtungsvektor von E
Verbindungsvektor der Stützvektoren (!)
s + 40/29 t = 16/29.
2 2
in die Gleichung der Ebene F einsetzen.
2
1 a + 2 b + 3 c + 1 d = 0
0 a + 3 b + -1 c + 1 d = 0
-2 a + 0 b + 1 c + 1 d = 0
/ Last Update 04.12.04
Einführung in den GTR TI-83 Plus
+ −
s AB t AC s DE
1 1 2
Ebenen sind parallel
− =
t DF AD
2
und t beliebig).
2 2
= 1.
2
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