D) Abstand Zweier Punkte; E) Abstand Punkt - Ebene (In Koordinatenform); F) Abstand Ebene - Ebene (Mindestens Eine In Koordinatenform); G) Abstand Gerade - Ebene (In Koordinatenform) - Texas Instruments Ti-83 Plus Bedienungsanleitung

d) Abstand zweier Punkte

Gegeben sind die Punkte A(2|0|-3) und B(-2|1|-2). Gesucht ist der Abstand der beiden
Punkte.
Bem.: Dazu muss man den Betrag des Verbindungsvektors berechnen: d(A,C)=
Vorgehen beim TI 83 Plus: Über Listen:
Eingabe von A als L1 und B als L2
L2 – L1 L3
√sum(L3 ²)
Damit beträgt der Abstand ca. 4,24 LE.
e) Abstand Punkt – Ebene (in Koordinatenform)
Gegeben ist der Punkte A(2|0|-3) und die Ebene E: x – 2y + 2z = 5. Gesucht ist der
Abstand von A zu E
Bem.: Dazu muss man A in die Hesse-Koordinatenform einsetzen: d(A,E)=
(Einsetzen in der Hesse-Koordinatenform entspricht dem Skalarprodukt von a und n)
Vorgehen beim TI 83 Plus: Über Listen:
Eingabe von a als L1 und n als L2
5 D
√sum(L2 ²)
N
(sum(L1 L2) –D)/N
f) Abstand Ebene – Ebene (mindestens eine in Koordinatenform)
Gegeben ist die Ebene E: x – 2y + 2z = 5 und die Ebene F: 2x – 4y + 4z = 5. Gesucht ist der Abstand von E zu F.
Bem.: Die beiden Ebenen sind parallel (sonst ist der Abstand Null).
Nun wählt man einen Punkt aus der Ebene F, z. B. A(2,5 | 0 | 0), und bestimmt seinen Abstand zu E, wie oben gezeigt.
Dies ist zugleich der gesuchte Abstand.
g) Abstand Gerade – Ebene (in Koordinatenform)
Bem.: Sind Gerade und Ebene parallel (sonst ist der Abstand Null), wählt man einen Punkt aus der Geraden, und
bestimmt seinen Abstand zu Ebene, wie oben gezeigt. Dies ist zugleich der gesuchte Abstand.
h) Abstand Punkt – Gerade
Gegeben ist der Punkte A(2|0|-3) und die Gerade g:
Abstand von A zu g.
Bem.:
a. Dazu benötigen wir eine Hilfsebene H durch den Punkt A mit dem Richtungsvektor von g als
Normalenvektor: H:
b. Dann wird der Schnittpunkt S zwischen g und H gesucht.
g in H einsetzen:
Gleichung nach t auflösen
c. Zum Abschluss wird der Abstand zwischen A und S berechnet.
Vorgehen beim TI 83 Plus: Über Listen:
Eingabe der Vektoren als Listen L1 (A), L2 (Stützvektor p), L3 (Richtungsvektor u)
Zu b) Dies ergibt eine Gleichung in t, die über den Solver gelöst werden kann:
0 = sum((L2-L1)L3) + X sum(L3²)
Der Wert für den Parameter t (bzw. X) ergibt somit ca. –1,46.
Für den Schnittpunkt S erhält man damit:
L2 + X L3
Zu c) Der Abstand von S und A ergibt sich über den Betrag des
Verbindungsvektors: √sum((L1-L4)²)
Damit gilt: d(A, g) ≈ 1,49 LE.
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Verbindungsvektor als L3
Betrag von L3
5 aus x – 2y + 2z =
Betrag von L2 (=3) wird in N gespeichert
A in Hesse-Form einsetzen: -3
Betrag davon ist der gesuchte Abstand: 3
( )
− u =
x a 0
( )
+ − =
p u t a u 0
ergibt den Schnittpunkt S.
L4 S(1 | 12/13 | -31/13)
/ Last Update 04.12.04
Einführung in den GTR TI-83 Plus
a
5
wird in D gespeichert
   
1 0
   
= − + −
   
x 2 r 2
. Gesucht ist der
   
   
2 3
( )
− + + =
2
p a u u t
bzw.
AC
⋅ −
n d
| n |
0
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