Verwendete Formeln Für Die Berechnung Statistischer Werte - Mettler Toledo XS Bedienungsanleitung

5.4.4 Verwendete
Berechnung von Mittelwert
Bezeichnungen
x = Einzelne Messwerte einer Mess-Serie von
i
x = Mittelwert und s Standardabweichung dieser Messwerte
Für den Mittelwert gilt:
1 n
∑
=
x x
i
n
=
i 1
Die aus der Literatur bekannte Formel zur Berechnung der Standardabweichung
( )
1
∑
2
= −
s x x
i
−
n 1
ist für die nummerische Berechnung nicht geeignet, da bei Messserien mit sehr kleinen Abweichungen zwischen den Einzelwerten das
Quadrat der Differenz (Einzelwert-Mittelwert) zu Auslöschung führen kann. Darüber hinaus müsste bei Anwendung dieser Formel jeder
einzelne Messwert abgespeichert werden, bevor die Standardabweichung am Schluss bestimmt werden kann.
Die folgende Formel ist mathematisch äquivalent, aber nummerisch wesentlich stabiler. Sie kann durch geeignete Umformung aus (1)
und (2) hergeleitet werden:

1 1 
 n n
∑ ∑
s = x 2 − 

i
n n
− 1
  
i i
= 1 = 1
Für die Berechnung des Mittelwertes und der Standardabweichung müssen zur Anwendung dieser Formel nur
abgespeichert werden.
Standardabweichung
Durch Skalierung der Messwerte kann die nummerische Stabilität noch weiter verbessert werden:
∆ x = x − X
Mit wobei X (je nach Anwendungsfall) entweder der erste Messwert einer Messserie oder der Sollwert einer Messserie
i i 0
ist, ergibt sich:

1 n 1 

( )
∑
2
s = ∆ x −


i
n − 1 n
  
i = 1
Mittelwert
Entsprechend berechnet sich dann der Mittelwert:
n
1
∑
= + ∆
x X x
0 i
n
=
1
i
Relative Standardabweichung
Die relative Standardabweichung berechnet sich nach der Formel:
s
=
s 100
Prozent
rel
x
Stellenzahl der Resultate
Mittelwert und Standardabweichung werden grundsätzlich mit einer Nachkommastelle mehr angezeigt und ausgedruckt, als die ent-
sprechenden einzelnen Messwerte. Bei der Interpretation der Resultate ist zu beachten, dass diese zusätzliche Dezimalstelle bei kleinen
Messserien (weniger als ca. 10 Messwerte) nicht aussagekräftig ist.
Das gleiche gilt auch für Prozentangaben (wie zum Beispiel bei der relativen Standardabweichung), die immer mit zwei Nach kommastellen
erfolgen (zum Beispiel 13.45 Prozent). Auch hier ist die Aussagekraft der Nachkommastellen abhängig von der Grössen ordnung der
Ausgangsdaten.
Formeln für die Berechnung statistischer Werte
und Standardabweichung
Messwerten
n
(1)
(2)

2


x 

i
  
0
2 
n 

∑
∆ x


i
  
i = 1
=
i 1 ... n
s
Die Applikation "Statistik"
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∑
∑
2
x
x
, und
n
i
i