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7.2.4 Verwendete Formeln für die Berechnung statistischer Werte
Berechnung von Mittelwert und Standardabweichung
Bezeichnungen
= Einzelne Messwerte einer Messserie von
= Mittelwert und Standardabweichung dieser Messwerte
Für den Mittelwert gilt:
n
1
∑
=
x
x
i
n
i
=
1
Die aus der Literatur bekannte Formel zur Berechnung der Standardabweichung
1
∑
=
s
−
n
1
(2) ist für die numerische Berechnung nicht geeignet, da bei Messserien mit sehr kleinen Abweichungen zwi
schen den Einzelwerten das Quadrat der Differenz (Einzelwert-Mittelwert) zu Auslöschung führen kann. Darüber
hinaus müsste bei Anwendung dieser Formel jeder einzelne Messwert abgespeichert werden, bevor die Stan
dardabweichung am Schluss bestimmt werden kann.
Die folgende Formel ist mathematisch äquivalent, aber numerisch wesentlich stabiler. Sie kann durch geeignete
Umformung aus (1) und (2) hergeleitet werden:
n
1
∑
=
s
−
n
1
=
i
1
Für die Berechnung des Mittelwertes und der Standardabweichung müssen zur Anwendung dieser Formel nur ,
und
abgespeichert werden.
2
Σ
x
Σ
x
i
i
Standardabweichung
Durch Skalierung der Messwerte kann die numerische Stabilität noch weiter verbessert werden:
=
-
Mit
wobei
∆
x
x
X
i
i
0
einer Messserie ist, ergibt sich:
n
1
∑
=
s
−
n
1
=
i
1
Mittelwert
Entsprechend berechnet sich dann der Mittelwert:
n
1
∑
=
+
x
X
0
n
i
=
1
Relative Standardabweichung
Die relative Standardabweichung berechnet sich nach der Formel:
s
=
s
100
rel
x
90
Applikation Statistik
(1)
(2)
(
)
2
−
x
x
i
2
n
1
∑
2
−
x
x
i
i
n
=
i
1
(je nach Anwendungsfall) entweder der erste Messwert einer Messserie oder der Sollwert
X
0
2
n
1
( )
2
∑
∆
−
∆
x
x
i
i
n
=
i
1
∆
x
i
Prozent
Messwerten
i
1
...
n
=
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