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Insgesamt erhält man dann das Raumfrequenzspektrum und somit auch das Beugungs-
fernfeld als
(83)
Die
zentralen
N
Transmissionsfunktion des beugenden Elements vorgegeben. Höhere Frequenzen treten
als Wiederholung der Basisfrequenzen mit einer einhüllenden Kurve auf, welche
wiederum
durch
Interpolationsfunktion) beschrieben wird. In der hier dargestellten analytischen Form sind
diese Zusammenhänge für die numerische Simulation der Lichtausbreitung nach
Beugung an pixelierten Strukturen und damit für das Design diffraktiver optischer
Elemente von erheblicher Bedeutung.
4.4.4
Beugungswinkel der Ordnungen
Wenn die räumliche Periodizität, oft Gitterperiode genannt, mit
sich die Beugungswinkel
(84)
θ
herleiten, in der
den Einfallswinkel des Lichts bezeichnet. Für senkrecht einfallendes
θ = 0
Licht ist
, und die Gleichung vereinfacht sich zu
(85)
Es lässt sich zeigen, dass diese Gleichung völlig äquivalent unter Verwendung der
Komponenten des Wellenvektors
x-
geschrieben werden kann, man erhält
(86)
wobei hier
den Betrag des Wellenvektors des Gitters bezeichnet. Analog kann man die
k
g
räumliche Gitterfrequenz
Wellen den ganz ähnlichen Zusammenhang
(87)
Die Schreibweise in den Gitterfrequenzen oder Wellenvektoren ist vorteilhaft, wenn es
darum geht, die Lichtausbreitungsrichtungen bzw. Beugungswinkel an Gittern mit
Periodizitäten in zwei Raumrichtungen zu berechnen. Für den Wellenvektor der
gebeugten Welle beispielsweise werden in den beiden Raumrichtungen senkrecht zur
Lichtausbreitung jeweils die Bedingung(en) gemäß Gleichung (86) erfüllt, und die
fehlende Bedingung ergibt sich dann aus dem ja durch die Wellenlänge feststehenden
Betrag des Wellenvektors.
4.5
Einfluss linearer und quadratischer Phasenfunktionen
Das Fraunhofer-Beugungsfernfeld kann in hinreichend großen Abständen vom beugenden
Objekt beobachtet werden. Wird zusätzlich eine Linse in den Strahlengang gebracht,
entsteht ein Fernfeldbeugungsbild in der hinteren Brennebene, wie in Abschnitt 4.5.1
gezeigt werden wird. Eine Linse kann jedoch durch eine Phasenfunktion repräsentiert
werden und ein Beugungsobjekt kann eine solche ‚Linsenphase' enthalten, so dass sich
34
[
]
(
=
F
ν (
(
f
)
)
comb(
I
x
Frequenzen
werden
die
Fouriertransformierte
α
aus der Gittergleichung
l
θ
g
(sin(
α
g
sin
der einfallenden und
k
=
k
'
k
x
ν
einführen und erhält für die Raumfrequenzen der gebeugten
g
=
ν
ν
'
x
)
⊗
⋅
ν
F
p
)
(
f
)
sinc(
x
durch
die
der
+
−
=
⋅
α
) θ
λ
)
sin
l
l
= l
⋅
λ
.
l
π 2
+
⋅
=
+
⋅
l
k
l
k
,
x
x
g
g
1
+
⋅
=
+
⋅
ν
ν
l
l
.
x
x
g
g
ν
p
)
.
x
DFT
der
abgetasteten
Pixelformfunktion
bezeichnet wird, lassen
g
der gebeugten Welle
k'
(bzw.
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