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OptiXplorer
(53)
mit
(54)
In der Fraunhofer-Beugung ist das Fernfeld damit durch die Fouriertransformierte des
Feldes direkt hinter dem beugenden Objekt gegeben. Die Raumfrequenzen der
beugenden Struktur erzeugen Wellen, die sich unter den Winkeln
(55)
ausbreiten. Mit Hilfe einer Linse kann das Fernfeld der Lichtausbreitung bereits in der
Brennebene einer Linse erhalten werden (siehe Abschnitt 4.5.1).
In der Optik entsteht also eine Fouriertransformation in natürlicher Weise bei der
Ausbreitung des Lichtfeldes auf Grund von Beugung. Die Fouriertransformierte einer
zweidimensionalen Objektverteilung
(56)
kann in als Funktion der Raumfrequenzen direkt beobachtet werden, welche mit den
Beugungsordnungen übereinstimmen. Diese räumlichen Frequenzen können dann z. B.
gefiltert und damit manipuliert werden. Die Fourierfilterung ist eine passive parallele
Bildverarbeitung in Lichtgeschwindigkeit.
4.3
Symmetrien von Beugungsbildern
Für bestimmte Beugungsobjekte weisen die beobachteten Beugungsbilder Symmetrien
auf.
Es ist naheliegend, dass beispielsweise rotationssymmetrische Objekte ein
rotationssymmetrisches Beugungsbild aufweisen, und dass auch Spiegelsymmetrien,
beispielsweise bezüglich der
den folgenden Abschnitten soll auf Symmetrien eingegangen werden, deren Auftreten
nicht ganz so offensichtlich ist.
4.3.1
Fraunhofer-Beugung an reinen Amplitudenobjekten
Bei Beleuchtung von reinen Amplitudenobjekten mit einer ebenen Welle erhält man ein
transmittiertes elektrisches Feld
geschrieben werden kann.
Unter dieser Bedingung lässt sich nun aber das Fourier-Integral des Fraunhofer-
Beugungsbildes in Formel (56) leicht in seine reellen und imaginären Anteile zerlegen
indem man die Eulersche Formel
nach einfachen Umformungen, dass das Beugungsbild durch eine hermitesche Funktion,
das heißt eine Funktion mit der Symmetrie
26
=
E
(
x
, '
y
, '
z
)
A
(
A
(
x
, '
≈
α
tan
≈
β
tan
(
)
[
]
=
ν
ν ,
F
F
f
(
x
,
y
)
x
y
∞
∞
∫ ∫
=
f
(
x
,
y
)
−
∞
−
∞
- oder der
x
y
t
E
(x,y,0)
exp(ix)=cos(x)+i sin(x)
F
ν
x
, '
y
, '
z
)
[
E
(
x
,
y
0 ,
)](
exp(i
kz
)
=
y
, '
z
)
.
λ i
z
x
'
=
=
α
λν
x
z
y
'
=
=
β
λν
y
z
(
)
ν
ν ,
x
y
−
+
i π
ν (
ν
exp(
2
x
y
))
x
y
- Achse, sich im Beugungsbild wiederfinden. In
, welches als rein reellwertige Funktion
anwendet. Im Ergebnis zeigt sich
ν ,
)
x
y
α
β
und
dxdy
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