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4.2.2
Fresnel'sches Beugungsintegral
Die transversalen Abmessungen des beugenden Objekts sollen klein sein im Vergleich
zum Abstand zwischen Objekt und Beugungsbild (paraxiale Näherung). Damit gilt
und für den Abstand erhält man näherungsweise
cos(e
r)≈1
z
(47)
Da die Amplitude weit unempfindlicher als die Phase ist, kann im Nenner die gröbere
Abschätzung
verwendet werden. Damit folgt
r≈z
(48)
Diese Gleichung beschreibt die Faltung des transmittierten Feldes mit der Impulsantwort
der Struktur. Ausmultiplizieren der quadratischen Ausdrücke im Exponenten liefert:
(49)
mit
(50)
und
(51)
ν
ν
Die Größen
und
x
geschrieben als F) zeitlicher Signale, als Raumfrequenzen bezeichnet.
Die Fresnel-Beugung tritt auf, wenn die Beobachtungsebene sich in einer nicht allzu
großen Entfernung vom beugenden Objekt befindet. Sie geht mit zunehmender
Entfernung stufenlos in die Fraunhofer-Beugung über.
4.2.3
Fraunhofer – Beugung
Die Fraunhofer-Beugung ist ein Spezialfall (und analytisch gesehen eine Vereinfachung)
der Fresnel-Beugung für große Entfernungen vom beugenden Objekt. Dieser Fall der so
genannten Fraunhofer-Näherung ist gegeben, wenn
(52)
für
und
erfüllt ist und das Objekt mit einer ebenen Welle beleuchtet wird. Dann
(x,y)
(x',y')
gilt
≈
r
z
∞
∞
i
kz
e
∫ ∫
=
E
(
x
, '
y
, '
z
)
λ i
z
−
∞
−
∞
=
E
(
x
, '
y
, '
z
)
A
(
x
, '
y
, '
A
(
x
, '
=
ν
x
werden, analog zu den Frequenzen der Fouriertransformation (oben
y
(
+
2
x
(
)
(
)
−
−
2
2
x
'
x
y
'
y
+
+
.
2
z
2
z
(
i
k
(
) (
−
+
−
2
x
'
x
y
'
y
t
2
z
E
(
x
,
y
,
) 0
e
π i
+
2
2
(
x
y
λ
F
t
z
z
)
[
E
(
x
,
y
,
) 0
e
(
)
i
k
i
kz
+
2
2
e
x
'
y
'
=
2
z
y
, '
z
)
e
λ i
z
x
'
y
'
=
ν
,
.
y
λ
λ
z
z
)
π
<<
2
y
z
λ
OptiXplorer
)
)
2
.
dxdy
)
ν
ν ,
](
)
x
y
25
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