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Mathematik mit dem Sharp EL-9900 – Teil 2 – Analysis 2
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Das Newtonverfahren
Die Fragestellung, wie der GTR wohl Nullstellen von Funktionen finden kann, für die
es keine Lösungsformel gibt, führt irgendwann zum Newton-Verfahren. Spätestens bei
der Verwendung des SOLVERS gibt der GTR zu, dass er oft dieses Verfahren benutzt.
Bekanntlich erhält man, wenn der Startwert x
nur nahe genug an der gesuchten Null-
0
f(x
)
n
stelle liegt, durch x
= x
-
, n= 0,1,2... einen immer besseren Wert für die
n+1
n
f ' (x
)
n
Nullstelle. Das Verfahren konvergiert i.d.R. sehr gut.
Wir testen das Verfahren an der Funktion mit
3
f(x) = 2x
– 3x +1. Diese muss mindestens eine
Nullstelle haben. Ein Blick auf das Schaubild zeigt
sogar drei Nullstellen, von denen die erste in der Nähe
von –1,5 liegt.
Wir schalten in den
-Bildschirm und geben den Startwert ein.
- 1.5
Dieser Wert ist nun im Speicher der letzten Antwort
verfügbar und kann für die
Rekursion verwendet werden.
A
Y1
A 05
A
Y1
Damit berechnet der GTR die erste Näherung.
Durch wiederholtes Drücken der Taste
wird dieser
Ausdruck ausgewertet, wobei immer das letzte Ergebnis
in
verwendet wird (Rekursion). Schon nach
wenigen Schritten ändert sich das Ergebnis nicht mehr
sichtbar.
Zur Kontrolle kann man die Nullstelle(n) mit
C 3
bestimmen lassen, weil es für Gleichungen dritten
Grades eine Lösungsformel gibt.
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