Verwandte Anleitungen für Sharp EL-9650G
Inhaltszusammenfassung für Sharp EL-9650G
- Seite 1 EL-9650G/9900G Grafikrechner Teil 2: Analysis 2 Lehrerhandreichung für den effizienten Einsatz im Unterricht...
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Seite 2: Inhaltsverzeichnis
Mathematik mit dem Sharp EL-9900 – Teil 2 – Analysis 2 Inhaltsverzeichnis VORWORT......................... 2 FOLGEN........................3 Listen ......................... 3 Eingabe über den Home-Bildschirm ............... 3 Eingabe über den Listeneditor ................3 Erzeugen einer Liste mit dem seq-Befehl ............... 4 Hinweise zu Listenoperationen ................4 Grafische Darstellung von Folgen in Listen............. -
Seite 3: Vorwort
Mathematik mit dem Sharp EL-9900 – Teil 2 – Analysis 2 Asymptoten und Näherungskurven / Hilfen zur Herleitung ........ 44 Funktionsuntersuchung..................45 Flächenberechnung ....................47 Weiterführung ......................47 TANGENTEN UND NORMALEN................48 Tangente von einem Punkt an das Schaubild............48 DAS NEWTONVERFAHREN................... -
Seite 4: Folgen
Mathematik mit dem Sharp EL-9900 – Teil 2 – Analysis 2 Folgen Folgen sind zunächst Zuordnungen aus den natürlichen Zahlen in die reellen Zahlen und können als geordnete Listen dargestellt werden. Der GTR verfügt über einige Möglichkeiten, mit Listen zu arbeiten. Natürlich stellt jede solche Liste nur eine Teil- folge, normalerweise beginnend mit n = 1 dar. -
Seite 5: Erzeugen Einer Liste Mit Dem Seq-Befehl
Mathematik mit dem Sharp EL-9900 – Teil 2 – Analysis 2 Sind die Listen belegt, so stellen wir den Cursor auf den Listenkopf, drücken beantworten die Rückfrage mit Dann setzen wir den Cursor auf das Eingabefeld --------, geben die Werte ein und bestätigen mit oder Die Listen können wir mit... - Seite 6 Mathematik mit dem Sharp EL-9900 – Teil 2 – Analysis 2 Die Dimension einer Liste kann abgefragt und geändert werden. Ist beim Ändern die Liste noch leer oder hat sie weniger Elemente, so werden die fehlenden Elemente mit 0 belegt. Hat sie aber zu viele Elemente, so gehen die hinteren verloren.
- Seite 7 Mathematik mit dem Sharp EL-9900 – Teil 2 – Analysis 2 Die weiteren Befehle im Menu (OPE) sind: (cumul) Dabei findet eine sequentielle Summierung der Werte statt. So steht z.B. in der neuen Liste an Stelle 5 die Summe der Listenwerte 1 – 5 (Fol- ge der Teilsummen).
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Seite 8: Grafische Darstellung Von Folgen In Listen
Mathematik mit dem Sharp EL-9900 – Teil 2 – Analysis 2 (MATH) (sum) aufrufen und die gewünschte Liste ergänzen: Hinweise: • Es ist es auch möglich, nur einen zusammenhängenden Teilbereich der Liste zu sum(L2,2,5) addieren. Der Befehl summierte die Elemente 2 bis 5 der Liste L2. - Seite 9 Mathematik mit dem Sharp EL-9900 – Teil 2 – Analysis 2 3. Zeichnen des Streu-Diagramms (PLOT1) Dann wie nebenstehende auswählen: PLOT1 (Cursor drauf und DATA (Cursor drauf und ListX: (Cursor auf L von ListX und ListY: (Cursor auf L von ListY und Nun steht der Cursor auf G von GRAPH.
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Seite 10: Eine Erste Anwendung Aus Der Physik
Mathematik mit dem Sharp EL-9900 – Teil 2 – Analysis 2 Hinweise: • Es ist sinnvoll, dass (COORD) (Rect) eingestellt ist, da dann die Taste auch wirklich X liefert und da dann die -Einstellung besonders einfach ist. • Sollten im Schaubild unerwartete Linien/Punkte auftauchen oder dieses sogar gar nicht gezeichnet werden, so ist mindestens eine weitere Grafik noch aktiv. - Seite 11 Mathematik mit dem Sharp EL-9900 – Teil 2 – Analysis 2 Liste 3 wird uns nun als Δt und Liste 4 als Δs dienen. Dazu geben wir nebenstehende Befehle im Bildschirm ein. Der Befehl df_list berechnet eine neue Liste aus der Differenz zweier benachbarter Glieder.
- Seite 12 Mathematik mit dem Sharp EL-9900 – Teil 2 – Analysis 2 (Stat) wird die Darstellung für die „statistischen“ Daten in den Listen optimiert und das s-t-Schaubild gezeichnet. Entsprechend bereiten wir das v-t-Diagramm als (PLOT2) vor. Liste 5 enthält die benötigten Werte.
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Seite 13: Eine Zweite Anwendung Aus Der Physik
Mathematik mit dem Sharp EL-9900 – Teil 2 – Analysis 2 Das Schaubild ist durchaus für eine (kritische) Interpretation des Bewegungsablaufs brauchbar. Die Erstellung mit dem GTR gehört so aber eher in die Hand des Lehrers. Eine zweite Anwendung aus der Physik Das Messprotokoll einer Bewegung unter Einfluss einer konstanten Kraft soll ausge- wertet werden. -
Seite 14: Der Folgen-Modus
Mathematik mit dem Sharp EL-9900 – Teil 2 – Analysis 2 Der Folgen-Modus Einstellungen (COORD) (Seq) bringt den GTR in den Folgen-Modus. Dabei verändert sich das Aussehen des -Editors , der -Einstellung und die Bedeutung der -Taste, die nun n erzeugt. Es können bis zu drei Folgen u(n), v(n) und w(n) verwendet werden, die auch rekursiv erzeugt werden können. - Seite 15 Mathematik mit dem Sharp EL-9900 – Teil 2 – Analysis 2 Auch die Einstellung von (Seq) ist etwas umständlicher. Alle Werte können eingegeben werden, wenn der Cursor am Beginn der Zeile steht und werden mit übernommen. nMin und nMax bestimmen den Definitionsbereich der Folgen für die Berechnung.
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Seite 16: Werte
Mathematik mit dem Sharp EL-9900 – Teil 2 – Analysis 2 Entsprechend zu u(n) werden in die Folgen v(n) bzw. w(n) definiert. Die Darstellung kann, wie gewohnt, deaktiviert (und wieder aktiviert) werden, indem der Cursor auf das = Zeichen nach dem Folgennamen gesetzt und gedrückt wird. -
Seite 17: Rekursive Folgen
Mathematik mit dem Sharp EL-9900 – Teil 2 – Analysis 2 Trotzdem lässt sich eine Teilfolge erzeugen, welche dann als Liste vorliegt und als solche gespeichert und weiterbearbeitet werden kann. seq(u(X),1,5) liefert die ersten 5 Folgenglieder. (OPE) (seq) auswählen und ergänzen... -
Seite 18: Grenzwerte Bei Folgen
Mathematik mit dem Sharp EL-9900 – Teil 2 – Analysis 2 Grenzwerte bei Folgen Bei vielen der untersuchten Folgen hat man festgestellt, dass sie sich wohl gegen eine ganz bestimmte Zahl streben. Zunächst kann man durch fortwährende Erweiterung des Zeichenbereiches diesen Sachverhalt darstellen. - Seite 19 Mathematik mit dem Sharp EL-9900 – Teil 2 – Analysis 2 Eine Veranschaulichung des Eintauchens der Folge in einen Streifen der Breite 2ε (und ihres Verbleibens) versuchen wir an einem anderen Beispiel. Den Streifen können wir mit (DRAW) (H_line) erzeugen.
- Seite 20 Mathematik mit dem Sharp EL-9900 – Teil 2 – Analysis 2 erscheint zwar die Folge, aber der Streifen ist weg. Dieser muss im mittels des zurückgerufenen H_line-Befehls ( ) erst wieder erzeugt werden. Nun taucht aber die Folge nicht mehr ein.
- Seite 21 Mathematik mit dem Sharp EL-9900 – Teil 2 – Analysis 2 Dann wird E kleiner gewählt und wieder gezeichnet ). Zunächst bringt der GTR aber das selbe Bild. Da sich für ihn weder Funktionsterm noch Fenstereinstellungen geändert haben, sieht er keinen Grund, neu zu zeichnen.
- Seite 22 Mathematik mit dem Sharp EL-9900 – Teil 2 – Analysis 2 Wir definieren also die Folgen v(n) und w(n) zum Zeichnen des ersten Streifens der Breite 2*0,1. Auch in der Vergrößerung in y-Richtung sieht man, dass die Folge in diesen Streifen eintaucht und verbleibt.
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Seite 23: Spinnweb-Diagramme
Mathematik mit dem Sharp EL-9900 – Teil 2 – Analysis 2 Bemerkungen: • Durch leichte Veränderungen am Term lassen sich Folgen finden, bei denen dies erst sehr viel später und bei viel kleinerer Streifenbreite passiert. • Vielleicht hilft diese Veranschaulichung, dass ein paar Schüler mehr einsehen,... - Seite 24 Mathematik mit dem Sharp EL-9900 – Teil 2 – Analysis 2 Falls die Folge u(n) gegen g konvergiert, d.h. falls für genügend große n gilt: u(n-1) ≈ u(n) ≈ g, so ist g bestimmt durch die Gleichung g = f(g) und ergibt sich durch den Schnittpunkt des Schaubildes von f(x) mit der 1.
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Seite 25: Die Euler'sche Zahl Als Grenzwert
Mathematik mit dem Sharp EL-9900 – Teil 2 – Analysis 2 Die Euler’sche Zahl als Grenzwert Es gibt zwei sehr unterschiedliche Folgen, welche e als Grenzwert haben. Eine ist ex- plizit, die andere rekursiv definiert: u(n) = ( 1 +... -
Seite 26: Flächeninhalte - Integral
Mathematik mit dem Sharp EL-9900 – Teil 2 – Analysis 2 Flächeninhalte – Integral Ein Unterrichtsgang zur Einführung des Integrals mit dem GTR könnte so aussehen: 1) Näherungsweise Berechnung von Flächeninhalte durch Untersummen bzw. Obersummen 2) Definition des Integrals – Vorstellen der Integralberechnung durch den GTR... - Seite 27 Mathematik mit dem Sharp EL-9900 – Teil 2 – Analysis 2 Dann erzeugen wir eine Liste 2 mit den zugehörigen Funktionswerten. (Y1) Zur Darstellung rufen wir (PLOT1) auf mit nebenstehenden Einstellungen. Der Graph-Typ (Cursor auf G von GRAPH und erneut drücken) ist...
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Seite 28: Weg Zur Darstellung
Mathematik mit dem Sharp EL-9900 – Teil 2 – Analysis 2 Bemerkung: Ich habe bewusst eine neue Listennummer verwendet, um gegebenen- falls beide Summen gleichzeitig einzeichnen zu können. Dies ist aber nicht nötig. (PLOT1) wird vorläufig auf OFF geschaltet. (PLOT2) wird wie abgebildet eingestellt. - Seite 29 Mathematik mit dem Sharp EL-9900 – Teil 2 – Analysis 2 Es erscheint das Fenster zur Eingabe eines Programmnamens. Die Tastatur ist automatisch in den ALPHA-Modus, so dass die Buchstaben des Name sofort ohne die ALPHA- Taste eingegeben werden können – in unserem Beispiel habe ich USUM gewählt.
- Seite 30 Mathematik mit dem Sharp EL-9900 – Teil 2 – Analysis 2 Label LOOP Sprungmarkierung (Label) Line(X,0,X,Y1(X)) (Line) Y1 aus Line(X,Y1(X),X+D,Y1(X)) s.o. Line(X+D,0,X+D,Y1(X)) s.o. X+D => X Nächster Schritt I+1 => I Laufvariable erhöhen If I<N Goto LOOP (If) (<) (Goto) Wait Anhalten –...
- Seite 31 Mathematik mit dem Sharp EL-9900 – Teil 2 – Analysis 2 Von hier aus kann das Programm neu gestartet werden mit (EXEC) (USUM) oder eine andere Funktion aufgerufen werden. kann das Bild nochmals betrachtet werden. Sollte das Programm nicht richtig laufen, können Sie mit...
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Seite 32: Berechnung Der Summen
Mathematik mit dem Sharp EL-9900 – Teil 2 – Analysis 2 Berechnung der Summen Dazu sind keine Programmierfähigkeiten nötig, da der GTR durch seine Listen über ein mächtiges Werkzeug verfügt. 1. Weg Dieser bietet sich an, wenn man den ersten Weg zur Darstellung gewählt hat und die Liste der Funktionswerte bereits erzeugt hat (L2). - Seite 33 Mathematik mit dem Sharp EL-9900 – Teil 2 – Analysis 2 2. Weg -Menu gibt es auch einen Summierungsbefehl Σ mit ähnlicher Syntax. Σ(Term in X, Anfang, Ende, Schrittweite) In unserem Fall berechnen wir die Untersumme mit Σ(Y1*D, 2, 5-D, D) (CALC) (Σ) gefolgt von...
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Seite 34: Das Integral
Mathematik mit dem Sharp EL-9900 – Teil 2 – Analysis 2 Das Integral Nun ist es an der Zeit, dem Schüler mitzuteilen, dass der GTR dieses Verfahren als eigenständige Funktion beherrscht – als Integral. (CALC) (∫) ruft das Integralzeichen auf den -Bildschirm. -
Seite 35: Hauptsatz Der Differential- Und Integralrechnung
Mathematik mit dem Sharp EL-9900 – Teil 2 – Analysis 2 Die Fenstervariablen Xmax bzw. Xmin findet man unter bzw. Den Line-Befehl findet man unter (DRAW) (Line) Text findet man unter (DRAW) (Text) Das Anführungszeichen findet man unter (PRGM) (“) **** ∫... - Seite 36 Mathematik mit dem Sharp EL-9900 – Teil 2 – Analysis 2 wird nun die Zeichnung gestartet. Das Schaubild von Y2 dauert etwas länger. Die nächste Aufgabe besteht darin, den Funktionsterm von Y2 herauszufinden. Möglicherweise kann die Wertetabelle helfen. Wir vermuten F(x) = Zur Bestätigung geben wir den Term als Y3 ein.
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Seite 37: Flächen, Die Ganz Oder Teilweise Unterhalb Der X-Achse Liegen
Mathematik mit dem Sharp EL-9900 – Teil 2 – Analysis 2 An dieser Stelle kann der Begriff der Stammfunktion eingeführt und (nach einigen weiteren Beispielen) die Vermutung aufgestellt werden, dass das Integral mit variabler oberer Grenze X eine solche Stammfunktion liefert. Welche der in Frage kommenden Funktionen es nun wirklich ist, kann an Hand der letzten Grafik begründet werden:... - Seite 38 Mathematik mit dem Sharp EL-9900 – Teil 2 – Analysis 2 Den Befehl zur Betragsbildung abs finden wir unter (NUM) (abs) Hinweis: Es ist mit dem GTR möglich, Teile des Bildschirms zu schraffieren. Mit ver- tretbarem Aufwand gelingt dies aber nur, wenn eines der begrenzenden Schaubilder immer oberhalb des anderen liegt.
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Seite 39: Fläche Zwischen 2 Kurven
Mathematik mit dem Sharp EL-9900 – Teil 2 – Analysis 2 Fläche zwischen 2 Kurven a) ein Teilbereich In diesem Fall ist die Schraffur einfacher zu bewerkstelligen. (SHADE) (SET) ..bringt das nebenstehende Menü. -
Seite 40: Zwei Oder Mehr Teilbereiche
Mathematik mit dem Sharp EL-9900 – Teil 2 – Analysis 2 Für die Berechnung des Flächeninhaltes benötigen wir die Schnittpunkte der Schau- bilder, die wir durch zweimaligen Aufruf von (Intsct) bestimmen. Damit wir die Werte nicht notieren müssen, nutzen wir aus, dass direkt nach der Berechnung die angezeigten Werte unter den entsprechenden Variablen (X bzw. - Seite 41 Mathematik mit dem Sharp EL-9900 – Teil 2 – Analysis 2 Durch Eingabe zweier Bedingungen unter (SHADE) (SET) können alle Teilflächen zwischen den beiden Schaubildern schraffiert werden. ( Für die Berechnung der eingeschlossenen Flächen kann man nun die drei Schnittpunkte bestimmen und die Teilflächen getrennt ausrechnen. Es genügt aber auch hier, über den Betrag der Differenz zu integrieren.
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Seite 42: Volumen Eines Rotationskörpers
Mathematik mit dem Sharp EL-9900 – Teil 2 – Analysis 2 Volumen eines Rotationskörpers Die Formel für das Volumen eines Rotationskörpers bei Rotation um die x-Achse ∫ π kann genau so eingegeben werden. Lassen wir also das Schaubild von f(x) = cos x im π... -
Seite 43: Ableitungsregeln
Mathematik mit dem Sharp EL-9900 – Teil 2 – Analysis 2 Zunächst wird jedem x ein Y1= 2x-5 zugeordnet. Aus diesen Werten als neuen Ausgangszahlen wird mittels Y2 die Wurzel gezogen. Blättert man in der Wertetabelle zurück, so erkennt man, dass die verkettete Funktion einen gegenüber g... - Seite 44 Mathematik mit dem Sharp EL-9900 – Teil 2 – Analysis 2 Unter stellen wir die Linienart für Y3 auf fett. In einem passenden Fenster (evtl. zeichnet der GTR zunächst das Schaubild von Y1, dann das der numerischen Ableitungs- funktion und zum Schluss darüber gut erkennbar, weil fett, das der von uns gefundenen Ableitungsfunktion.
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Seite 45: Gebrochen-Rationale Funktionen
Mathematik mit dem Sharp EL-9900 – Teil 2 – Analysis 2 Gebrochen-rationale Funktionen Asymptoten und Näherungskurven / Hilfen zur Herleitung Der GTR kann Asymptoten bzw. Näherungskurven nicht bestimmen. Er kann uns aber bei der Herleitung der Untersuchungsmethoden hilfreich sein. Mit Hilfe der Wertetabellen für u(x) und v(x) kann das unterschiedliche Verhalten in der Umgebung der Definitionslücken beurteilt werden. -
Seite 46: Funktionsuntersuchung
Mathematik mit dem Sharp EL-9900 – Teil 2 – Analysis 2 c) Einfache NS im Nenner / Zähler = 0 (einfach) d) Doppelte NS im Nenner / Zähler = 0 (einfach) Hinweis: Entsprechend kann auch das Verhalten für große |x| beurteilt werden. - Seite 47 Mathematik mit dem Sharp EL-9900 – Teil 2 – Analysis 2 Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte finden wir mit den entsprechenden Aufru- fen im -Menu, die gegebenenfalls mehrfach aufzurufen sind. Allerdings erhält man nur Ergebnisse, welche auch auf dem Schirm sichtbar sind.
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Seite 48: Flächenberechnung
Mathematik mit dem Sharp EL-9900 – Teil 2 – Analysis 2 Flächenberechnung Bestimme den Flächeninhalt zwischen Funktionsschaubild (Y1) und Näherungskurve (Y2) vom Minimum bis X = 5. X(Minimum) wird zunächst über bestimmt. Der GTR liefert 2.000000061. Entweder rechnen wir mit 2, schreiben den „genauen“ Wert auf oder wir speichern ihn um (X wird vom GTR ständig verwendet und ist zur Variablenspeicherung denkbar... -
Seite 49: Tangenten Und Normalen
Mathematik mit dem Sharp EL-9900 – Teil 2 – Analysis 2 Tangenten und Normalen Der GTR kann zwar die Tangente in einem Kurvenpunkt zeichnen, liefert aber keine Gleichung für die Weiterarbeit. Sinnvoller ist deshalb für die Tangente im Kurven- punkt (x /f(x )) die Gleichung y = f ’(x... - Seite 50 Mathematik mit dem Sharp EL-9900 – Teil 2 – Analysis 2 Die allgemeine Tangentengleichung lautet y = f ’ (x )*(x – x ) + f(x Dabei ist (x /f(x )) der gesuchte Berührpunkt. Da aber P die Tangentengleichung erfül- len muss, kann man die Koordinaten von P in diese einsetzen und erhält...
- Seite 51 Mathematik mit dem Sharp EL-9900 – Teil 2 – Analysis 2 Genauer erhält man den y-Wert entweder durch (Y1) oder unter auf dem Schaubild von Y1 durch A 1. Eingabe von unter kann nun sogar die Tangente eingezeichnet werden. Entsprechend bestimmen wir die zweite Lösung, die wir nach B umspeichern.
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Seite 52: Das Newtonverfahren
Mathematik mit dem Sharp EL-9900 – Teil 2 – Analysis 2 Das Newtonverfahren Die Fragestellung, wie der GTR wohl Nullstellen von Funktionen finden kann, für die es keine Lösungsformel gibt, führt irgendwann zum Newton-Verfahren. Spätestens bei der Verwendung des SOLVERS gibt der GTR zu, dass er oft dieses Verfahren benutzt. -
Seite 53: Weitere Näherungsverfahren
Mathematik mit dem Sharp EL-9900 – Teil 2 – Analysis 2 wird die Berechnung gestartet. Um die nächste Nullstelle mit dem Newton-Verfahren zu finden, müssen wir die Formel nicht erneut eintippen. Es genügt, einen neues Startwert einzugeben ( und durch mehrfaches Drücken von die Newton- Formel zurückzuholen. - Seite 54 Mathematik mit dem Sharp EL-9900 – Teil 2 – Analysis 2 Die Periode kann entweder im Schaubild (Abtasten mit ) oder eine spezielle Wer- die Schrittweite TBLStep auf π/4 tetabelle bestimmt werden. Wir können unter oder π/2 setzen. Die Tabelle (durchblättern) zeigt dann die Periodizität.
- Seite 55 Mathematik mit dem Sharp EL-9900 – Teil 2 – Analysis 2 Zusammenfassung: π So entsteht z.B. f(x) = 2*sin( (x - ))+1 schrittweise aus der Sinusfunktion: Y1 = sin X Y2 = Y1( π Y3 = Y2(X - Y4 = 2*Y3...
- Seite 56 Mathematik mit dem Sharp EL-9900 – Teil 2 – Analysis 2 Eine kleine Aufgabe: Versuche die rechts dargestellte Kurve nachzubilden. Idee: Das Schaubild stammt von einer Kosi- nusfunktion. Die Periode beträgt aber nicht 2π, sondern 12. Es fehlt noch eine Streckung in y-Richtung mit Faktor 2 und eine Verschiebung in y- Richtung um 2.
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Seite 57: Stichwortverzeichnis
Mathematik mit dem Sharp EL-9900 – Teil 2 – Analysis 2 STICHWORTVERZEICHNIS Ableitungsregeln 42 Integral 25, 33 absoluter Inhalt 36 alternierenden Folge 13 Asymptoten 44, 46 Kettenregel 42, 43 Berührpunkt 49 Linienstärke 35 Betrag 36, 37 Linientyp 19 Bogenmaß 23... - Seite 58 Mathematik mit dem Sharp EL-9900 – Teil 2 – Analysis 2 Schnittpunkte 39 Tabelle Schraffur 37 User 44 löschen 38 Tangenten 48 Schraffurbereiche 38 von einem Punkt aus 48 seq-Befehl 4, 16 Tangentengleichung 49 shade 33, 37 Trigonometrische Funktionen 52...
- Seite 59 Hierbei ist auf das Urheberrecht des Verfassers hinzuweisen. www.sharp.de Jede Verwertung in anderen als den genannten oder den gesetzlich zu- lässigen Fällen ist ohne schriftliche Zustimmung von Sharp nicht zulässig. Bestellnummer: GTR-Analysis 2 Weitere Informationen erhalten Sie auf: www.sharp-in-der-schule.de...