Mehr Zur Integration; Wie Das Integral Berechnet Wird - HP 33s Benutzeranleitung

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Mehr zur Integration

Dieser Anhang liefert zusätzliche Informationen über die Integration, die über die
Hinweise in Kapitel 8 hinausgehen.

Wie das Integral berechnet wird

Der bei der Integrations–Operation verwendete Algorithmus, , berechnet
das Integral einer Funktion f(x) durch die Berechnung eines gewichteten
Mittelwertes der Funktionswerte für viele Werte von x (Abtastpunkte genannt)
innerhalb des Integrationsintervalls. Die Ergebnisgenauigkeit eines solchen
Stichprobenverfahrens hängt von der Anzahl der Abtastpunkte ab: Allgemein gilt:
Je größer die Anzahl der Abtastpunkte, desto größer die Genauigkeit; wenn f(x)
mit einer unendlichen Anzahl von Abtastpunkten ermittelt werden könnte, so
könnte der Algorithmus – ungeachtet der durch die Ungenauigkeit der
berechneten Funktion f(x) hervorgerufenen Einschränkungen – immer ein exaktes
Ergebnis liefern.
Die Auswertung einer Funktion mit unendlich vielen Abtastpunkten würde
unendlich lange dauern. Allerdings ist dies nicht nötig, da die maximale
Genauigkeit des berechneten Integrals durch die Genauigkeit der berechneten
Funktionswerte begrenzt wird. Mit einer endlichen Anzahl von Abtastpunkten
kann der Algorithmus ein Integral so exakt berechnen, wie es unter
Berücksichtigung der inhärenten Ungenauigkeit in f(x) möglich ist.
Der Integrationsalgorithmus berücksichtigt zunächst nur wenige Abtastpunkte –
dies führt zu relativ ungenauen Näherungen. Falls diese Näherungen noch nicht
so exakt ausfallen, wie es die Genauigkeit von f(x) erlaubt, wird eine Iteration
(eine Wiederholung) mit einer größeren Anzahl von Abtastpunkte durchgeführt.
Diese Iterationen werden mit etwa doppelt so vielen Abtastpunkten je Durchlauf
fortgesetzt, bis die sich daraus ergebende Näherung so exakt ist, wie es unter
Berücksichtigung der inhärenten Ungenauigkeit in f(x) möglich ist.
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