G) Zeichnen Einer Normalen; H) Zusammenhang Zwischen F(X), F '(X) Und F ''(X); I) Bestimmen Der Wendepunkte; J) Numerisches Integrieren: Ohne Nullstellen - Texas Instruments Gtr Ti-83 Plus Bedienungsanleitung

Mathematik in der Kursstufe - GTR TI-83 Plus
[X..] ) an der Stelle x
[GRAPH] Schaubilder von f und f '
Wenn man von f ' nun die Nullstellen bestimmt, kommt man zu den Punkten mit
einer waagrechten Tangente, den Kandidaten für den Extrempunkt (hier: Nullstelle
von f '(x) bei x = 0 mit Vorzeichenwechsel von (-) nach (+), also hat f(x) dort einen
Tiefpunkt).
Analog lässt sich auch die zweite Ableitung zeichnen über die Ableitung der
Ableitung: Y3 = nDeriv(Y2, X ,X)

g) Zeichnen einer Normalen

Gegeben f(x) = x² +1. Gesucht: Funktion mit Normale bei x = 2.
Hinweis: Die Normale im Punkt (u|f(u)) hat die Gleichung:
Vorgehen beim TI 83 Plus: Über die numerische Ableitung
Eingabe der Funktion über [Y=] als Y1
Eingabe der Normalen als Y2 = -1/nDeriv(Y1,X,2) (X-2) + Y1(2)
evtl. [ZOOM] [5:Zsquare]
[GRAPH] Zeichnen von Funktion und Normale

h) Zusammenhang zwischen f(x), f '(x) und f ''(x)

Gegeben f(x) = (x+1)² (x+3)³ . Gesucht: Zusammenhang zwischen f, f ' und f ''.
Vorgehen beim TI 83 Plus: Zeichnen über die numerische Ableitung
[Y=] ... [ENTER] Eingabe des Funktionsterms bei Y1
Y2 = nDeriv(Y1,X,X) und Y3 = nDeriv(Y2,X,X)
(über [MATH] [8: nDeriv(] und [VARS] [Y-VARS] [1:Function] )
Zuerst nur Y1 und Y2 aktivieren (beim Gleichheitszeichen)
und unterschiedlich zeichnen (fett und normal gestrichelt)
[MODE] [Simul] [ENTER] Gleichzeitiges Zeichnen
[WINDOW] Einstellen
[GRAPH]
Hochpunkt von f Nullstelle von f ' mit VZW von + nach –

Tiefpunkt von f Nullstelle von f ' mit VZW von - nach +

Sattelpunkt von f Nullstelle von f ' ohne VZW und

Extrempunkt
Wendepunkt von f Extrempunkt von f '

f monoton steigend f ' ist positiv

f monoton fallend f ' ist negativ

f rechtsgekrümmt  f ' ist monoton fallend
f linksgekrümmt  f ' ist monoton steigend
Nun Y1 und Y3 aktivieren (beim Gleichheitszeichen)
und unterschiedlich zeichnen (fett und gestrichelt)
Wendepunkt von f Nullstelle von f '' mit VZW

f rechtsgekrümmt f '' ist negativ

f linksgekrümmt f '' ist positiv

Zusammengefasst :
Schaubild der Funktion f ...der ersten Ableitung f ''
Hochpunkt Nullstelle mit VZW von + nach –
Tiefpunkt Nullstelle mit VZW von - nach +
Sattelpunkt Nullstelle ohne VZW / Extrempunkt
Wendepunkt Extrempunkt
monoton steigend positiv
monoton fallend negativ
rechtsgekrümmt monoton fallend
linksgekrümmt monoton steigend
www.rudolf-web.de / Last Update 04.02.06
−
1
= − +
y ( x u ) f ( u )
f ( ' u )
...
.. der zweiten Ableitung f ''
Nullstelle mit VZW
Nullstelle mit VZW
negativ
positiv
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Mathematik in der Kursstufe - GTR TI-83 Plus

i) Bestimmen der Wendepunkte

Gegeben f(x) = x³ + x² - 1. Gesucht: Wendepunkte
Hinweis: Wendepunkte sind die Minima oder Maxima von f '(x).
Vorgehen beim TI 83 Plus: über das Schaubild der num. Ableitung
[Y=] Eingabe der Funktion über als Y1
Eingabe von f '(x) als Y2 über nDeriv(Y1,x,x)
[GRAPH] Zeichnen der Funktion
II
[ CALC] [3:minimum] Bestimmen der Minima von Y2
Richtige Funktion wählen (Y2), linke Grenze, rechte Grenze, Schätzwert:
Minimum bei x = -0,33333 Wendepunkt
Die y-Koordinate muss noch berechnet werden: f ''(-0,33)

j) Numerisches Integrieren: ohne Nullstellen

Gegeben f(x) = 5x² -3. Gesucht: Fläche unter der Kurve im Intervall von 2 bis 4.
Bemerkung: Zuerst sollte man untersuchen, ob im Intervall keine Nullstellen sind (z. B. über das Schaubild).
Vorgehen beim TI 83 Plus:
Variante 1: über den HBS
II
[ zurück zum HBS
QUIT]
[MATH] [9:fnInt(] Aufruf des num. Integrals
5 [X..][x²] -3 , Eingabe der Funktion
[X..] , Eingabe der Variablen
2 , 4 ) Eingabe der unteren und oberen Grenze
[ENTER] Berechnung des Integrals:
Variante 2: über den Funktionsgraphen
[Y=] ... Eingabe des Funktionsterms f(x) bei Y1
[GRAPH] Schaubild zeichnen (evtl. WINDOW einstellen)
II
[ CALC] [7:∫f(x)dx] numerisches Integral
2 [ENTER] Eingabe der unteren Grenze
4 [ENTER] Eingabe der oberen Grenze
ergibt den Flächeninhalt: 87,333...FE

k) Numerisches Integrieren: mit Nullstellen

Gegeben f(x) = x³ + 3x² - x - 2. Gesucht: Fläche unter der Kurve von -2 bis +2.
Bemerkung: Aus dem Schaubild erkennen wir, dass im Intervall Nullstellen sind. Um den
Flächeninhalt zu bestimmen, müssen die Flächen ober- und unterhalb der Nullstelle getrennt
bestimmt werden.
Vorgehen beim TI 83 Plus:
Variante 1: zuerst die Nullstellen und dann die Integrale einzeln bestimmen
Variante 2 - „Betrag-Trick": Wir bestimmen die Fläche unter der Funktion | f(x)| von –2 bis +2
(hier gibt es keine Flächen unterhalb der x-Achse
[Y=] Eingabe des Funktionsterms bei Y1
[MATH] [NUM] [1:abs(] Betrag von
2
[X..] [^] 3 + 3[X..] [x ] – [X..] – 2 x³ + 3x² - x – 2
[WINDOW] geeignet einstellen
[GRAPH] Zeichnen
II
[ CALC] [7:∫f(x)dx] numerisches Integral
-2 [ENTER] Eingabe der unteren Grenze
2 [ENTER] Eingabe der oberen Grenze
Flächeninhalt: 12,386363 FE
l) Volumen eines Rotationskörpers
Gegeben f(x) = 5x² +1. Gesucht: Volumen des Rotationskörpers im Intervall von –2 bis
+2 bei Rotation um die x-Achse
2
π ∫
= 2
V f ( dx x )
Bem.: Das Volumen wird über bestimmt.
− 2
Vorgehen beim TI 83 Plus:
[Y=] ... [ENTER] Eingabe des Funktionsterms f(x) bei Y1
II
π] [VARS] [Y-VARS] [1:Function] [1 :Y1] [x²]
[
Nun wird das Integral von π f ²(x) bestimmt:
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4
∫
−
5 x ² 3 dx
≈ 87,33..FE
2
bei Y2 : π f ²(x)
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