Texas Instruments TI-84 Plus Handbuch

Die meistgenutzten Tasten

Einrichten des TI-84 Rechners

• Rechner einschalten
  • Drücken Sie:
• Rechner ausschalten:
• Drücken Sie:
• Modus einstellen:
  • Drücken Sie:
  • Die Einrichtung sollte wie im folgenden Bild aussehen:
    
  • Verwenden Sie die Pfeiltasten, um sich zu bewegen und den gewünschten Modus einzustellen.
    
    Beginnen Sie mit:
    • 2. Zeile: NORMAL
    • 3. Zeile gibt die Anzahl der anzuzeigenden Ziffern bei Berechnungen an. Verwenden Sie anfangs FLOAT
    • 4. Zeile: DEGREE
    • 5. Zeile: FUNCTION
    • 8. Zeile: REAL
    • Andere Zeilen: wie in der Abbildung gezeigt.
  • Verlassen Sie den Modus-Bildschirm, indem Sie drücken:
    • Hinweis : Sie können jeden Bildschirm verlassen und zum Standardrechnerbildschirm zurückkehren, indem Sie drücken:
• Setzen Sie das Grafikfenster zurück, indem Sie 6:ZStandard drücken.
• Setzen Sie zuvor eingegebene Funktionen für die grafische Darstellung zurück, indem Sie drücken.
  • Wenn mehr als eine Funktion angezeigt wird, bewegen Sie sich mit den Auf- und Ab-Pfeiltasten zu jeder einzelnen und drücken Sie
• Löschen Sie zuvor eingegebene Zeilen, die im Display oder darüber liegen könnten:
  • Drücken Sie 3:Clear Entries ( Taste ist über dem + Zeichen).
  • Drücken Sie um das Display zu leeren, falls Sie ein sauberes Display bevorzugen.

Tipps zur Verwendung des TI-84 Plus

• und sind Ihre Freunde. Sie helfen Ihnen aus den meisten Situationen, aus denen Sie sonst nicht herauskommen würden.
• Um eine erweiterte Berechnung oder ein Programm in einer Schleife zu unterbrechen, halten Sie für mehrere Sekunden gedrückt, bis die Fehlermeldung [Break] auf dem Bildschirm erscheint.
• Verwenden Sie viele Klammern bei komplexen Eingaben. Es ist besser, zu viele Klammern zu verwenden als zu wenige. Es ist ein häufiger Fehler von Schülern, Ausdrücke ohne genügend Klammern einzugeben, damit der TI-84 die vom Schüler gewünschte Antwort liefert.
• Inhalte löschen auf einer Zeile oder dem Bildschirm
  • Drücken Sie: einmal, um eine Zeile zu löschen. Drücken Sie zweimal, um den gesamten Bildschirm zu löschen.
• Ein Zeichen löschen.
  • Bewegen Sie den Cursor mit den Pfeiltasten über das Zeichen und drücken Sie
• Ein Zeichen einfügen.
  • Bewegen Sie den Cursor mit den Pfeiltasten über ein Zeichen und drücken Sie
  • Das neue Zeichen wird vor dem Zeichen eingefügt, auf dem sich der Cursor befand.
• Verwenden Sie den Speicher, um Werte zu speichern, die Sie oft verwenden werden. Sie können Werten einbuchstabige Variablennamen geben, indem Sie „value you want stored“ (Wert, den Sie speichern möchten) gefolgt von einem einbuchstabigen Variablennamen drücken.
  • Um die gespeicherte Variable zu verwenden, rufen Sie sie einfach namentlich auf.
    
• Beim Verwenden von Variablen, achten Sie darauf, dass sie dem entsprechen, was Sie eingegeben haben, und nicht dem, was ein früherer Benutzer eingegeben hat. Wenn Sie eine Variable auf Null setzen möchten, speichern Sie 0 unter dem Variablennamen.
• Um zuvor eingegebene Informationen zu verwenden, können Sie die Pfeiltasten verwenden, um nach oben oder unten zum vorherigen Ausdruck oder Wert zu gelangen und die Enter-Taste an einer beliebigen Stelle in einer Berechnung zu drücken.
  • Siehe die Bildschirmsequenz unten, in der ich Flächen für ein paar Kreise berechne und dann die erste davon mit 7 multipliziere, um das Volumen eines Zylinders zu erhalten.
  • Beachten Sie im zweiten Bildschirm, dass ich von der Zeile, in der ich gearbeitet habe, nach oben gegangen bin, um das Ergebnis einer früheren Berechnung zu erfassen, das vom Rechner blau hervorgehoben wird.
  • Drücken Sie die Enter-Taste, nachdem Sie das gewünschte Element markiert haben, um es in den Rechner einzugeben, und arbeiten Sie weiter.
    
• Um die Antwort aus der vorherigen Zeile zu verwenden, drücken Sie (siehe unten links) oder beginnen Sie einfach, eine Operation oder Funktionstaste einzugeben, und der TI-84 geht davon aus, dass Sie den Ausdruck mit der vorherigen Antwort beginnen wollten (siehe unten rechts).
  
• Die Absolutwertfunktion befindet sich unter: NUM 1: abs(
• Wenn Sie Variablen definieren für die anstehenden Aufgaben, sollten Sie diese am Ende Ihrer Sitzung auf Null setzen. Wenn Sie zum Beispiel die Variable Z verwendet haben, setzen Sie sie auf Null, indem Sie drücken: 0 am Ende Ihrer Sitzung.
• Wenn Sie die Trace-Funktion verwenden, um einen bestimmten Punkt in einem Diagramm zu finden, denken Sie daran, dass die erzeugten x- und y-Werte möglicherweise nicht sehr genau sind. Wenn Genauigkeit entscheidend ist, verwenden Sie die Berechnungstaste (über der Trace-Taste), um Ihren Punkt zu finden.
• Nach Abschluss eines Grafikproblems möchten Sie möglicherweise das Grafikfenster zurücksetzen, indem Sie 6:ZStandard drücken.
• Einige Dinge, die der TI-84 nicht kann oder schlecht macht:
  • Vertikale Asymptoten anzeigen.
  • Löcher in Graphen anzeigen.
  • Präzise Punkte auf einem Graphen bei den meisten x-Werten anzeigen.
  • Präzise x- oder y-Werte auf einem Graphen anzeigen.
• Wenn Sie einen TI-84 verwenden, der zuletzt von einem anderen Schüler benutzt wurde, befolgen Sie die Einrichtungsanweisungen, bevor Sie ihn verwenden.
• Beim Umgang mit Winkeln achten Sie darauf, die 4. Zeile des Modus-Bildschirms entweder auf RADIAN oder DEGREE einzustellen, je nach Ihrem Ziel.
  • Beim Zeichnen von trigonometrischen Funktionen sollten Sie RADIAN verwenden.
  • Wenn Sie Probleme mit Winkeln lösen, werden Sie wahrscheinlich DEGREE verwenden wollen.
  • Möglicherweise müssen Sie während eines Tests oder einer anderen Übung hin und her wechseln. Seien Sie vorsichtig.

TI-84 Zurücksetzen auf Werkseinstellungen

• Ein Zurücksetzen auf die Werkseinstellungen löscht alle im TI-84 eingegebenen Informationen und stellt die Einstellungen wieder her, die er im Neuzustand hatte.
• Dies wird nur unter extremen Umständen empfohlen.
• Drücken Sie: 7:Reset... 1:All Memory 2:Reset
• Im Allgemeinen ist es keine gute Idee, mit dem Speicher des TI-84 herumzuspielen.

Spezialtasten und Funktionen

Math-Taste

• Bietet Zugriff auf zusätzliche mathematische Funktionen, wie in der Abbildung rechts gezeigt.
• Drücken Sie
• Oben befinden sich Menüs mit verschiedenen Funktionen.
  • Bewegen Sie den Cursor mit den Pfeiltasten nach rechts oder links.
  • Wenn Sie die gewünschte Funktion sehen, bewegen Sie den Cursor mit den Pfeiltasten nach oben und unten und drücken Sie:
  • Es können mehr Funktionen verfügbar sein, als auf dem Bildschirm angezeigt werden.
    Um sie anzuzeigen, scrollen Sie mit den Pfeiltasten nach unten.
  • Beispiel: Bewegen Sie sich nach rechts zu NUM (Zahlen) und nach unten zu 5: int ( (5: Ganzzahl()) um eine Funktion einzufügen, die den ganzzahligen Teil dessen zurückgibt, womit Sie arbeiten.
    • Um den ganzzahligen Anteil von 8.2³ zu erhalten, drücken Sie Folgendes ohne die Anführungszeichen:
      "NUM" "5: int(" "(8.2^3)"
    • Der Rechner zeigt die Abbildung rechts, da 8.2³ = 551.368 und int(551.368) = 551 ist.
      

Brüche

• Umwandlung von einem Bruch in eine Dezimalzahl.
  • Geben Sie den Bruch als Division ein.
• Umwandlung von einer Dezimalzahl in einen Bruch.
  • Geben Sie die Dezimalzahl ein, dann drücken Sie: 1:→ Frac (1:→ Bruch)
  • Die Möglichkeit zur Umwandlung ist eindeutig begrenzt (wir würden bevorzugen, dass 0.7777 7/9 zurückgibt). Diese Funktion kann jedoch gelegentlich nützlich sein.
    

Finden eines Funktionsmaximums oder -minimums mit der Math-Taste

• 6:fMin( (6:Funktionsminimum())Ausdruck, Variable, niedriger x-Wert, hoher x-Wert)
• Für das folgende Beispiel ist die Funktion 𝑦 = xe^x und der Bereich der x-Werte, über den wir das Minimum suchen, ist [−5, 0].
  • Um die x-Koordinate des lokalen Minimums zu erhalten:
    6:fMin( (6:Funktionsminimum()) , −5, 0)
  • Um den resultierenden Wert als Variable Z zu speichern:
  • Um die y-Koordinate des lokalen Minimums zu erhalten, setzen Sie den oben gefundenen Wert von Z in den Ausdruck der Funktion ein:
    Drücken Sie:
    
  • Hinweis: Es wird nicht empfohlen, X als Variable in diesem Prozess zu verwenden, da der TI-84 jedes Mal, wenn Sie danach X verwenden, den von Ihnen als X gespeicherten Wert anstelle einer Behandlung als Variable verwenden würde.
  • Ein besserer Ansatz, um ein Minimum oder Maximum einer Funktion zu finden, ist das Zeichnen der Funktion, wie unten beschrieben. Warum? Weil der in der fMin (fMin) Funktion ausgewählte Bereich der x-Werte möglicherweise nicht der Ort ist, an dem das Minimum oder Maximum wirklich liegt. Mit einem Graphen können Sie den Ort leicht erkennen.

Wissenschaftliche Notation

• Um eine Zahl in wissenschaftlicher Notation einzugeben, können Sie sie beispielsweise als 1.5 × 10 14 (für 1.5 × 10¹⁴) eingeben oder die Taste als Abkürzung verwenden:
  1.5 14 ist eine gute Möglichkeit, 1.5 × 10¹⁴ einzugeben.
• Es ist ratsam, Zahlen in wissenschaftlicher Notation in Klammern zu setzen, unabhängig davon, welche der oben genannten Methoden Sie verwenden.

Matrizen eingeben

• Um Daten in eine Matrix einzugeben, definieren Sie zuerst ihren Namen: öffnet das Matrix-Menü.
• Bewegen Sie sich oben nach rechts zu EDIT (BEARBEITEN). Wählen Sie die Matrix, die Sie definieren möchten, mit den Pfeiltasten nach oben und unten aus.
  Drücken Sie . Matrixnamen sind typischerweise A, B oder C.
  
• Sie werden als Nächstes aufgefordert, die Dimensionen der Matrix zu definieren. Die erste Zahl ist die Anzahl der Zeilen und die zweite Zahl ist die Anzahl der Spalten. Nachdem Sie die Dimensionen definiert haben, drücken Sie und presto, eine Matrix mit den von Ihnen gewählten Dimensionen erscheint.
• Die von Ihnen gewählte Matrix kann bereits Zahlen enthalten. Keine Sorge, ändern Sie diese einfach, indem Sie mit den Pfeiltasten jede Position in der Matrix auswählen und die gewünschten Werte in jede Position eingeben. Drücken Sie nach der Eingabe jedes Wertes.
  
• Die Matrix ist nun definiert. Drücken Sie um zum Hauptfenster zurückzukehren.
• Wenn Sie Ihre Matrix sehen möchten, drücken Sie , scrollen Sie nach oben oder unten zu der Matrix, die Sie sehen möchten, und drücken Sie zweimal.
  • Wenn Sie Ihre Matrix verwenden möchten, gehen Sie genauso vor, drücken Sie aber nur einmal.
  • Beispiel: Um Matrix A (zuvor definiert) mit der neuen Matrix B von links zu multiplizieren, drücken Sie: 2:[B] (2:[B]) × 1:[A] (1:[A]) . Die Ergebnisse sehen Sie unten:
    
• Hinweis: Matrizen können addiert, subtrahiert und multipliziert werden, wenn sie die richtigen Dimensionen haben. Sie können nicht dividiert werden.

Komplexe Zahlen

• Komplexe Zahlen haben die Form a + bi. Genau so werden sie in den TI-84 eingegeben, außer dass es ratsam ist, Klammern darum zu setzen.
  • Beispiel: Um (2 +3i)⁴ zu berechnen, drücken Sie (2+3 ) 4
  • Die Taste befindet sich über dem Punkt.
    
• Das Ziehen einer Wurzel oder einer gebrochenen Potenz einer komplexen Zahl liefert nur den Hauptwert, mit vielen Dezimalstellen.
  

Apps auf dem TI-84

Der TI-84 CE wird mit einer Reihe vorinstallierter Apps geliefert. Es kann sich lohnen, sie auszuprobieren, aber eine vollständige Beschreibung ihrer Verwendung würde den Rahmen dieses Dokuments sprengen. Zu den nützlichsten Apps gehören:

• 9:PlySmlt2 (9:PlySmlt2) – bietet einen Polynomwurzel-Finder und einen Gleichungssystem-Löser.
• 4:Conics (4:Kegelschnitte) – ist eine App zum Zeichnen von Kegelschnitten: Kreise, Ellipsen, Hyperbeln und Parabeln.
• Schauen Sie sich die anderen an. Vielleicht finden Sie ein Juwel.

Darstellung einer Funktion – Tutorial

• Tasten:
  • Um die Funktion einzugeben, die Sie grafisch darstellen möchten.
  • Um die x- und y-Grenzen auf dem Bildschirm zu ändern und die Auflösung der dargestellten Funktion festzulegen.
  • Um einen Bereich des Graphen zu vergrößern oder zu verkleinern.
  • Um den Cursor entlang des Graphen zu einem interessanten Punkt zu bewegen.
  • Um die auf dem Bildschirm definierte Funktion grafisch darzustellen.
• Beispiel: Stellen Sie die Funktion grafisch dar: 𝑦 = ln(𝑥²) + 2
  • )+2
  • Der Taschenrechner zeigt möglicherweise etwas Ähnliches an:
    
  • Wenn Ihr Taschenrechner den obigen Graphen nicht anzeigt, ändern Sie die Einstellungen in wie unten gezeigt. Stellen Sie sicher, dass Sie die Taste unten am Taschenrechner verwenden, um eine negative Zahl einzugeben.
    • Scrollen Sie in den angezeigten Feldern nach oben und unten, um die gewünschten Werte einzugeben.
    • Ändern Sie keine Einträge unterhalb der Xres -Linie.
    • Wenn Sie fertig sind, drücken Sie um zu sehen, wie der Graph aussieht.
      
  • Möglicherweise bemerken Sie, dass etwas Interessantes mit dem Graphen passiert, wenn x = 0. Um besser zu sehen, was passiert, ändern Sie die Einstellungen für x und y wie folgt, und drücken Sie
    
  • Nun, das ist nicht viel besser. Offensichtlich passiert etwas bei 𝑥 = 0, und wir haben eine Grenze dessen erreicht, was der Taschenrechner leisten kann.
    • Wir können ohne Taschenrechner verstehen, was passiert, indem wir 𝑥 = 0 in die Gleichung 𝑦 = ln(𝑥²) + 2 einsetzen. Das Problem ist, dass ln(0²) = ln(0) nicht definiert ist. Es gibt keinen natürlichen Logarithmus von Null, und der Graph nähert sich auf beiden Seiten von Null −∞ an. Leider kann der Taschenrechner das nicht anzeigen, daher müssen wir stattdessen unser mathematisches Verständnis nutzen.
  • Hier sind einige Dinge, die er nicht oder nur schlecht kann:
    • Vertikale Asymptoten anzeigen.
    • Löcher in Graphen anzeigen.
    • Präzise Punkte auf einem Graphen bei den meisten x-Werten anzeigen.
    • Präzise x- oder y-Werte auf einem Graphen anzeigen.
• Um präzise Werte zu bestimmen, verwenden wir die Calc-Funktion, die über der Taste liegt. Das heißt, ermöglicht es uns, präzise Werte zu bestimmen.
  • Beispiel:
    • Setzen Sie Ihre Fenstereinstellungen zurück: MEMORY 1:ZPrevious
    • Um 𝑦 zu bestimmen, wenn 𝑥 = 2, drücken Sie 1:value
    • Der Taschenrechner zeigt den Bildschirm unten mit dem blinkenden Cursor nach X= an.
      
    • Geben Sie die Zahl 2 ein und drücken Sie
    • Der Taschenrechner zeigt den Wert von y am unteren Bildschirmrand, die verwendete Funktion oben auf dem Bildschirm und einen Punkt auf dem Graphen an, wie unten gezeigt.
      
    • Es ist ratsam zu überprüfen, ob die richtige Funktion angezeigt wird und ob der Punkt auf dem Graphen sinnvoll ist. Der am unteren Bildschirmrand angezeigte y-Wert ist das, wonach Sie gesucht haben.
• Lokalisierung von Schlüsselpunkten auf dem Graphen
  • Es wird Zeiten geben, in denen Sie eine bessere Vorstellung davon bekommen möchten, wo ein Schlüsselpunkt auf einem Graphen liegt. In diesem Fall haben Sie zwei Möglichkeiten. Wenn Sie etwas Besonderes über einen Punkt wissen, z. B. dass es ein Minimum, ein Maximum oder eine Nullstelle der Funktion ist, können Sie verwenden; andernfalls können Sie den Graphen nachverfolgen (trace), um einen ungefähren x- und y-Wert am Schlüsselpunkt zu erhalten.
  • Beispiel: Verwendung von
    • Beginnen wir mit der Neudefinition unserer Funktion. Um die zuvor definierte Funktion zu entfernen und eine neue einzugeben:
      ×
    • Diese Funktion ist 𝑦 = xe². Es ist eine merkwürdige Funktion, aber gerade solche lehren am meisten über die grafische Darstellung.
    • Passen Sie Ihre Fenstereinstellungen für x und y wie folgt an und zeichnen Sie den Graphen neu. Ihre Einstellungen und der Graph sollten so aussehen:
      
    • Nun, dies ist ein interessanter Graph. Versuchen wir, das Minimum mit einer Nachverfolgung (trace) zu finden. Während der Graph noch angezeigt wird, drücken Sie
    • Ein Punktcursor, x- und y-Werte sowie die Funktionsdefinition erscheinen auf dem Graphen. Bewegen Sie den Cursor, bis er sich am tiefsten Punkt des Graphen zu befinden scheint. Beobachten Sie beim Bewegen des Cursors die sich ändernden y-Werte und halten Sie den Cursor an diesem Punkt an.
      
    • Es scheint, dass der tiefste Wert der Funktion am Punkt (−1.030303, −0.367714) auftritt. Ihr Lehrer wird Sie wahrscheinlich bitten, diese Werte zu runden, da wir wissen, dass der Graph nicht auf sechs Dezimalstellen genau ist.
    • Beispiel: Verwendung von
      • Um eine genauere Schätzung des tiefsten Punktes auf dem Graphen zu erhalten, verwenden wir die Berechnungsfunktion des Taschenrechners.
      • Drücken Sie 3:minimum. Wieder erscheinen ein Punktcursor, x- und y-Werte sowie die Funktionsdefinition auf dem Graphen.
      • Halten Sie die linke Pfeiltaste gedrückt, um den Cursor so zu bewegen, dass er sich deutlich links vom Minimumpunkt befindet. Drücken Sie
      • Als Nächstes halten Sie die rechte Pfeiltaste gedrückt, um den Cursor so zu bewegen, dass er sich deutlich rechts vom Minimumpunkt befindet. Drücken Sie zweimal.
      • Der Taschenrechner findet den Minimumpunkt und zeigt seine Koordinaten am unteren Bildschirmrand an:
        
      • Der identifizierte Punkt, (−0.999999, −0.367879), ist eine viel genauere Schätzung des Wertes des lokalen Minimums der Funktion. Für Interessierte kann der tatsächliche Wert mit der Differentialrechnung als (−1, −1/𝑒) ≈ (−1, −0.367879) auf sechs Dezimalstellen genau bestimmt werden. Sie sehen also, wie viel genauer dieser Ansatz ist.
      • Beachten Sie, dass selbst bei diesem Ansatz der vom Taschenrechner bestimmte x-Wert nicht auf sechs Dezimalstellen genau ist. Jedes Runden würde jedoch einen genauen Wert von 𝑥 = −1 ergeben.
      • Wenn Sie sich das Menü unter ansehen, werden Sie sehen, dass dieser Ansatz auch funktioniert, um Graphennullstellen, Maxima und den Schnittpunkt zweier Funktionsgraphen zu finden.
    • Angenommen, Sie möchten sich den Teil des Graphen, in dem das Minimum existiert, etwas genauer ansehen.
      • Drücken Sie 2:Zoom In zum Vergrößern. Sie sehen einen blinkenden Punktcursor. Dieser Cursor wird der Mittelpunkt des vergrößerten Graphen sein, sobald Sie drücken.
      • Wenn Sie möchten, dass der Mittelpunkt an einer anderen Stelle liegt, bewegen Sie den Cursor an diese Position und drücken Sie dann
      • In der Abbildung unten habe ich den Cursor vor dem Vergrößern in die Nähe des Minimumspunkts bewegt, obwohl dies in dieser Situation von geringem Wert ist.
        
        
      • Beachten Sie, dass die Taste eine Option zum Verkleinern sowie andere Optionen hat. Eine sehr nützliche Option ist 0:ZoomFit, bei der der Taschenrechner sein Bestes tut, um den nützlichsten Teil des Graphen in das Anzeigefenster einzupassen.
      • Setzen Sie die x- und y-Werte des Fensters auf die unten gezeigten zurück. Drücken Sie dann 0:ZoomFit, um das Fenster rechts anzuzeigen.
        
      • Von hier aus könnten Sie sich entscheiden, auf das Minimum zu zoomen, indem Sie die oben beschriebene Technik verwenden, wenn Sie daran interessiert sind. In jedem Fall bietet dies einen hilfreichen Einblick in weitere Teile des Graphen.
• Sie können bei Bedarf mehrere Funktionen grafisch darstellen, indem Sie einfach drücken und so viele Graphen eingeben, wie Sie möchten. Beachten Sie jedoch, dass die Anzeige umso komplexer wird, je mehr Graphen Sie anzeigen.

Einige Probleme zum Üben

Problem 1:

Problem 2: Welche zwei Funktionen unten sind Umkehrfunktionen voneinander?

Lösung: Es gibt mehrere Möglichkeiten, dies zu tun, lassen Sie uns sie grafisch darstellen.

• Der TI-84 wird diese Funktionen unter Verwendung der Farben auf dem Bildschirm grafisch darstellen.
• Wir suchen zwei Funktionen, die sich über die Linie 𝑦 = 𝑥 spiegeln.
• Hier ist der Trick, den wir anwenden wollen. Die beiden Funktionen, die Umkehrfunktionen voneinander sind, schneiden die Linie 𝑦 = 𝑥 (rosa) oft am selben Punkt.
• Die roten und grauen Linien schneiden die rosa Linie eindeutig am selben Punkt, daher sind sie Umkehrfunktionen. Wenn wir auf den Bildschirm zurückblicken, sehen wir, dass diese beiden Funktionen 𝒈(𝒙) und 𝒉(𝒙) sind, was unsere Antwort ist.
  

Problem 3: Gegeben ist 𝑦 = 𝑥³− 𝑥² − 9𝑥 + 9, finden Sie die Nullstellen und geben Sie die Vielfachheit jeder einzelnen an.
Lösung: Wir können dies durch Faktorisieren tun, aber lassen Sie uns das grafische Darstellen üben.

• Zuerst löschen Sie alle Funktionen auf dem Bildschirm, indem Sie die Auf- und Abwärtspfeile und die Taste verwenden.
• Als Nächstes,
• Wir können auf dem Graphen sehen, dass die Nullstellen bei x= - 3, 1, 3 zu liegen scheinen und dies ist tatsächlich das, wonach wir suchen.
  
• Ferner hatte eine kubische Gleichung höchstens 3 reelle Lösungen, und da wir sie gefunden haben, gibt es keine weiteren.
• Noch etwas. Die Vielfachheiten jeder Nullstelle müssen ungerade sein, da die Funktion an jeder Nullstelle die x-Achse schneidet. Daher müssen die Vielfachheiten jeder Nullstelle 1 sein.
• Beachten Sie, dass, wenn eine Funktion eine gerade Vielfachheit an einer Nullstelle hat, die Kurve von der x-Achse abprallt und sie nicht durchschneidet.

Problem 4: Finden Sie alle Werte von 𝑥, für die ln 𝑥 = e^x .

Lösung: Dies ist algebraisch sehr schwierig und wie geschaffen für das grafische Darstellen.

• Lassen Sie uns beide Funktionen grafisch darstellen.
  ) ln 𝑥 ist als Y1 eingerichtet
  e^x ist als Y2 eingerichtet
  
• Beachten Sie, dass die beiden Graphen sich nie schneiden, daher gibt es keine Werte von 𝒙, für die 𝐥𝐧 𝒙 = e^x. Der Graph ist der Beweis dafür.
  

Problem 5: Lösen Sie die rationale Gleichung:

Lösung: Wir können dieses Problem rein algebraisch lösen, aber es ist lehrreich, den Graphen zu betrachten.

• Zuerst löschen Sie alle Funktionen auf dem Bildschirm, indem Sie die Auf- und Abwärtspfeile und die Taste verwenden.
• Als Nächstes, ( −4) ÷ ( +5)
• Betrachten wir den Graphen, 𝑓(𝑥), und trainieren wir unser Gehirn.
  
• Diese Funktion hat eine vertikale Asymptote, wo der Nenner Null ist, also bei 𝑥 = −5.
• 𝑓(𝑥) hat eine horizontale Asymptote bei 𝑥 = 1, weil der Bruch sich zu 1 kürzt, wenn wir die Konstanten sowohl im Zähler als auch im Nenner ignorieren. Guter Trick, oder!
• Die Funktion ist also auf ihrer linken Seite nie unter Null und auf ihrer rechten Seite von der vertikalen Asymptote an unter Null, bis sie die x-Achse schneidet. Wir wissen, dass 𝑓(𝑥) = 0 bei 𝑥 = 4, weil dies den Zähler zu Null macht, daher ist die Lösung alle Werte von 𝑥 zwischen −5 und 4.
• Wir können die Lösung in Mengenschreibweise als {𝒙 | −𝟓 < 𝒙 < 𝟒} schreiben.
• Wir können die Lösung in Intervallschreibweise als (−𝟓, 𝟒) schreiben. Beachten Sie, dass dies ein Bereich von 𝑥-Werten und keine Koordinate ist.
• Beachten Sie, dass der linke Endpunkt des Bereichs der x-Werte nicht in der Lösung enthalten ist, da er auf einer vertikalen Asymptote liegt. Der rechte Endpunkt des Bereichs der x-Werte ist nicht in der Lösung enthalten, da bei 𝑥 = 4, 𝑓(𝑥) = 0 ist und wir 𝑓(𝑥) < 0 wollen.

www.mathguy.us

Referenzen

• MathGuy.US

Anleitung herunterladen

Hier können Sie die vollständige PDF-Version des Handbuchs herunterladen. Sie kann zusätzliche Sicherheitsanweisungen, Garantieinformationen, FCC-Regeln usw. enthalten.

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